2. Однородный шар скатывается без скольжения с плоскости, наклоненной под углом α к горизонту. За какое время он пройдет путь l и какой будет его скорость в конце пути?

 Решение.
 Скорость шара v в конце пути l можно найти, используя закон сохранения энергии. Потенциальная энергия П шара в начале его движения равна

П = mgh,
где m ? масса шара, g ? ускорение свободного падения, h ? высота,
h = lsina.
Значит,
П = mglsina.
 В конце пути потенциальная энергия превращается в кинетическую К, которая складывается из кинетической энергии поступательного К_пост и К_вр вращательного движений:
К = К_пост + К_вр = mv²/2 + Jω²/2.
где J = (2/5)mr² ? момент инерции шара, r ? радиус шара, ω = v/r ? угловая скорость шара.
K = mv²/2 + (2/5)mr² × v²/(2r²) = 0,7mv².
По закону сохранения энергии П = К, или
mgh = 0,7mv².
Отсюда
glsinα = 0,7v²
и
v = √{glsina/0,7}.
 Путь l, проходимый телом при равноускоренном движении с ускорением а, имеющим начальную скорость v_o, определяется по формуле
l = v_ot + at²/2.
Так как v_o = 0, ускорение
a = (v ? v_o)/t = v/t,
то
l = vt/2 = √{glsinα/0,7} × t/2.