• Предыдущая задача

 47. Определите максимальное значение внутренней энергии U_max газа в процессе при котором газ, переводят из состояния с параметрами p₁ = 30,0 кПа и V₁ = 4,00 л в состояние с параметрами p₂ = 10,0 кПа и V₂ = 12,0 л так, что зависимость давления газа от его объема является линейной (p = aV + b). Считать, что количество вещества в этом процессе остается постоянным.

   Решение:
   Внутренняя энергия – функция температуры
U = (3/2)νRT
   Максимальное значение внутренней энергии определяется максимальной температурой. Для ответа на вопрос задачи найдем максимальную температуру при этом переходе. Есть несколько способов определения температуры.
   1 способ.
   Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона pV = νRT. Значит, следует отыскать наибольшее значение произведения давления на объем pV в ходе процесса.
   Воспользуемся математическим утверждением: если прямая лежит в плоскости xOy и проходит через точки (x_o, 0) и (0, y_o), то ее уравнение имеет вид
(x/x_o) + (y/y_o) = 1
   Тогда для нашего случая
(V/V_o) + (p/p_o) = 1.
   Где p_o = 40 кПа, при V = 0, V_o = 12 л, при p = 0.
   Если сумма двух положительных величин постоянна, их произведение максимально, когда эти величины равны друг другу. Следовательно, pV максимально при условии (V/V_o) = (p/p_o) = 1/2, что будет соответствовать
T_max = pV/(νR) = (1/4)p_oV_o/(νR) = 160/(νR). (1)
   Максимальная внутренняя энергия будет равна
U_max = (3/2)νRT_max.
   После замены (1), получим
U_max = (3/2)νR160/(νR) = (3/2)160 = 240 (Дж).
   2 способ.
   Уравнение прямой p = aV + b, или, после замены p = νRT/V, имеем T = aV²/(νR) + bV/(νR).
   После нахождения производной и приравнивания ее к нулю, с учетом того, что при p = 0, V_o = –(b/a); при V = 0, p_o = b.
   Тогда при объеме V = V_o/2 и давлении p = p_o/2, имеем максимальную температуру равную
T_max = pV/(νR) = (1/4)p_oV_o/(νR) = 160/(νR). (1)
   Далее, как и в пункте 1, находим внутреннюю энергию.
   Примечание:

• можно не находить производную уравнения прямой, а исследовать функцию методом дискриминантов.
• на тестировании, самым оптимальным вариантом будет знание того, что максимальной температуре будет соответствовать середина отрезка прямой

   Тогда p = (p₁ + p₂)/2 = 20 кПа, а V = (V₁ + V₂)/2 = 8 л. Максимальная температура будет равна

T_max = pV/(νR) = 160/(νR). (1)
 И, максимальная внутренняя энергия равна 240 Дж.
 Ответ: U_max = 240 Дж.

• Следующая задача