• Предыдущая задача

Решаем задачи тестирования. 2009 г. Вариант 1
   58. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся две гладкие незакрепленные горки, массы горок соответственно равны m₁ = 80 г и m₂ = 100 г (см. рис.). На вершине горки массой m₁, высота которой h₁ = 12 см, лежит гладкая шайба массой m_o = 20 г. От незначительного толчка шайба соскальзывает с первой горки в направлении второй. Определите высоту подъема шайбы на вторую горку, если шайба движется не отрываясь от поверхностей обеих горок и от стола.

   Решение:
   В качестве нулевого уровня выберем уровень стола. Тогда шайба имеет потенциальную энергию равную m_ogh₁. После того как шайба соскользнет с первой горки она приобретет кинетическую энергию m_ov_o²/2, и, так как поверхности и стола и горки гладкие (F_mp = 0), то горка приобретет кинетическую энергию равную m₁v₁²/2. Запишем закон сохранения энергии и импульса
m_ogh₁ = m_ov_o²/2 + m₁v₁²/2, (1)
0 = m_ov_o − m₁v₁. (2)
   После съезда с первой горки, шайба поднимается на некоторую высоту H, приобретая потенциальную энергию. При этом шайба и горка будут двигаться как одно целое имея кинетическую энергию (m_o + m₂)v²/2. Запишем закон сохранения энергии и импульса для этого случая
m_ov_o²/2 = m_ogH + (m_o + m₂)v²/2, (3)
m_ov_o = (m_o + m₂)v. (4)
   Мы получили 4 уравнения, которые требуется разрешить относительно искомой высоты подъема H.
   Из второго уравнения выразим скорость 1-й горки и подставим в (1) уравнение, выражая v_o².
v_o² = (2m₁/(m₁ + m_o))gh₁. (5)
   Из (4) уравнения выразим v и подставим в третье уравнение.
m_ov_o²/2 = m_ogH + m_o²v_o²/(2(m_o + m₂)). (6)
   Подставляя (5) в (6) получаем формулу для высоты H
H = m₁m₂h₁/{(m_o + m₂)(m₁ + m_o)}.
   Теперь подставим численные значения
H = 80•100•12/{(20 + 100)(80 + 20)} = 8 см = 80 мм.
   Ответ: H = 80 мм.

• Следующая задача