• Предыдущая задача

 77. Шахта глубиной h = 229 м пробурена в склоне горы и имеет горизонтальный выход (рис.). Температура наружного воздуха t₁ = 0 °C, температура воздуха внутри шахты t₂ = 14 °C. Вертикальный ствол шахты имеет сечение S = 3,5 м². Давление воздуха (М = 29 г/моль) на уровне горизонтального ствола шахты p_о = 1,0 × 10⁵ Па. Определите модуль минимальной силы F, которую необходимо приложить к крышке массой m = 35 кг, чтобы герметично закрыть сверху вертикальный ствол шахты.

   Решение:
   Поскольку горизонтальный ствол шахты сообщается с атмосферой, давление воздуха здесь равно атмосферному − p_o = 1 × 10⁵ Па. В верхней части шахты (под крышкой) давление воздуха будет равно
p₁ = p_o − ρ₁gh, (1)
где ρ₁ − плотность воздуха внутри шахты.
   Аналогичным образом выразим давление воздуха над крышкой снаружи
p₂ = p_o − ρ₂gh, (2)
   В соотношениях (1) и (2), очевидно, предполагается, что плотности воздуха ρ₁ и ρ₂ не меняются заметным образом при изменении высоты на величину h.
   Это предположение справедливо, если изменения давления с высотой (т. е. ρ₁gh и ρ₂gh) были малы по сравнению с p_o.
   Плотности воздуха ρ₁ и ρ₂ могут быть определены из уравнения газового состояния
ρ₁ = Mp_o/(RT₁), ρ₂ = Mp_o/(RT₂),
где T₁, T₂ − абсолютные температуры внутри и вне шахты соответственно.
   Разность давлений
p₁ − p₂ = ghMp_o/(RT₁) × (1 − T₁/T₂).
   Запишем теперь выражение для силы, действующей на крышку из-за разности давлений
F = S(p₁ − p₂) = ghMp_oS/(RT₁) × (1 − T₁/T₂).
   Эта сила направлена вверх и равна
F = 10 × 229 × 3,5 × 29 × 10 ⁻³ × 1,0 × 10 ⁵/(8,31 × 273)(1 − 273/287) = 499,8 Н.
   Вес крышки составляет 35 × 10 = 350 Н. Чтобы крышка не приподнималась, нужно приложить силу 499,8 H − 350 H = 149,8 H = 150 H.
   Ответ: Модуль минимальной силы F, которую необходимо приложить к крышке массой m = 35 кг, чтобы герметично закрыть сверху вертикальный ствол шахты, равен 150 Н.

   Примечание 1:
   Воспользуемся барометрической формулой и определим давление воздуха внутри и снаружи шахты

p_h = p_oe^{−Mgh/(RT₁)} и p_h^/ = p_oe^{−Mgh/(RT₂)}.
   Тогда
F + Sp_oe^{−Mgh/(RT₁)} + mg = p_oe^{−Mgh/(RT₂)}.
   Искомая сила для удержания крышки
F = p_oS{e^{−Mgh/(RT₂)} − p_oe^{−Mgh/(RT₁)}} − mg.
   После вычислений
F = 1,0 × 10⁵ × 3,5 × {e^{−29 × 10−3 × 10 × 229/(8,31 × 287)} − e^{−29 × 10−3 × 10 × 229/(8,31 × 273)}} − 350 = 135,7 = 136 H.
   136 Н и 150 Н два разных ответа (150 − 136) × 100 %/136 = 10 % к результату 136 Н.
   Если бы задачу решал продвинутый школьник, то он бы вписал ответ 136 Н.
   Чтобы не было «двойных стандартов» в условие задачи надо добавить: считайте, что плотности воздуха внутри шахты и снаружи не меняются заметным образом в данной задаче.
   Примечание 2: а какой ответ правильный?

• Следующая задача