• Предыдущая задача

   5(НГУ 2002). Тяжелый поршень массой M может свободно перемещаться внутри вертикального теплоизолированного цилиндра сечением S, верхний торец которого закрыт, а нижний открыт в атмосферу. Внутри цилиндра имеется горизонтальная перегородка с маленьким отверстием, отсекающая от атмосферы 1 моль воздуха, который занимает объем V при атмосферном давлении p_a. Поршень, который вначале снизу к перегородке, отпускают. Полагая, что внутренняя энергия газа равна cT, найдите, насколько опустится поршень.

   Решение:
   Если действующая на поршень сила тяжести Mg превышает действующую на него снизу силу атмосферного давления р_aS, то поршень, очевидно, выпадет из трубы, какой бы длинной она не была.
   Если же Mg < p_aS, то происходит следующее. Проникающий через отверстие воздух создает в отсеке между перегородкой цилиндра и поршнем давление. Когда оно достигнет величины p такой, что

Mg + pS = p_aS,
поршень начинает двигаться вниз. По мере его движения в этот отсек попадают дополнительные порции воздуха, поддерживая там постоянное давление p. Поскольку отверстие маленькое, поршень движется медленно. Он остановится, когда давление над перегородкой упадет до величины p.
   При смещении поршня на расстояние x газ, находящийся в цилиндре, совершает работу A = pSx, а внутренняя энергия его уменьшается. Будем считать, что перегородка между образовавшимися в цилиндре отсеками не препятствует теплообмену между ними, так что температуры воздуха в них все время одинаковы. Обозначив температуру воздуха в начальный момент через T_o, а в момент остановки через T получаем
cT_o = cT + A.
   Запишем также уравнения состояния газа для этих моментов:
p_aV = RT_o, (p_a + Sx)V = RT.
   Полученных уравнений достаточно для определения величины x:
x = (V/S) × [c/(с + R)] × Mg/(p_aS − Mg),

при Mg < p_aS.

   Ответ: x = (V/S) × [c/(с + R)] × Mg/(p_aS − Mg).

• Следующая задача