• Предыдущая задача

   12(МГУ 1996). Идеальный одноатомный газ, имевший температуру T₁, изобарически переводят в состояние 2 с температурой T₂ > T₁, затем изохорически – в состояние 3 с температурой T₃ < T₂, а после изобарического сжатия – в такое состояние 4, из которого его переводят в исходное состояние изохорически. Найти КПД этого цикла.

   Решение:
   КПД тепловой машины по определению равен: η = A/Q₁, где A – работа, совершенная за один цикл, а Q₁ – количество теплоты, полученное при этом рабочим веществом от нагревателя.
   С учетом обозначений на рисунке,

где приведена pV-диаграмма заданного цикла, работа газа за один цикл
A = (p₁ − p₃)(V₂ − V₁).

   Учитывая, что согласно уравнению Клапейрона – Менделеева произведение давления p газа на занимаемый им объем V равно газовой постоянной R умноженной на число молей ν и его абсолютную температуру T, искомая работа может быть найдена по формуле:

A = νR(T₂ − T₁ − T₃ + T₄).
   При переходе из точки 1 в точку 2 газ совершает положительную работу. Одновременно с этим возрастает и внутренняя энергия газа, т. к. увеличивается его температура (T₂ > T₁). Следовательно, на участке 1 – 2 газ должен получать тепло от нагревателя. Учитывая, что молярная теплоемкость идеального одноатомного газа при изобарическом нагревании равна 2,5R, полученное количество теплоты равно
Q₁₂ = 2,5νR(T₂ − T₁).

   На участке 2 – 3 температура газа по условию задачи уменьшается, а его объем остается постоянным. Поэтому на этом участке газ отдает тепло холодильнику. На следующем участке газ также должен отдавать тепло. Наконец на участке 4 – 1 при неизменном объеме давление газа увеличивается и, следовательно, увеличивается его температура. Поскольку молярная теплоемкость одноатомного газа при изохорическом процессе равна 1,5R, на этом участке газ получает от нагревателя количество теплоты

Q₄₁ = 1,5νR(T₁ − T₄).

   Таким образом, полученное газом за один цикл количество теплоты

Q₁ = Q₁₂ + Q₄₁.
   Объемы газа в точках 1 и 4 и, соответственно, 2 и 3 по условию задачи равны, а поэтому должны выполняться следующие соотношения:
p₁/p₃ = T₁/T₄ = T₂/T₃.

   Из этих соотношений следует, что неизвестная температура газа

T₄ = T₁T₃/T₂.

   Подставляя это в ранее полученные выражения, находим, что искомый КПД равен

η = [T₂(T₂ − T₁ − T₃) + T₁T₃]/[T₂(2,5T₂ − T₁) − 1,5T₁T₃].

   Ответ: η = [T₂(T₂ − T₁ − T₃) + T₁T₃]/[T₂(2,5T₂ − T₁) − 1,5T₁T₃].

• Следующая задача