49.(M1997-9) Тело движется по прямой. График зависимости его скорости v от координаты x приведён на рисунке. Найдите ускорение тела в точке с координатой x = 3 м. Найдите также максимальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

 Решение
 Из графика следует, что при x < 1 м и x > 4 м скорость тела постоянна, а значит, его ускорение равно нулю. В интервале от x = 1 м до x = 4 м связь между численными значениями скорости v и координаты x, выраженными в СИ, даётся формулой

v = 5 − kx,

• Предыдущая задача

 31(4.67). Некоторое тело начинает вращаться с постоянным угловым ускорением 0,04 рад/с². Через сколько времени после начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет направлено под углом 76^o к направлению скорости этой точки?

 Решение.

 Из рисунка, приведенного к решению задачи
tgα = a_ц/a_τ, (1)
где a_ц = ω²R = (εΔt)R − центростремительное ускорение тела, a_τ = v/Δt = ωR/Δt = εR, учтены начальные условия.
Сделав замену в формулу (1)

 A7. На рисунке представлена установка для исследования равноускоренного движения ползунка (1) массой 0,05 кг по наклонной плоскости, установленной под углом 45° к горизонту.
 В момент начала движения верхний датчик (А) включает секундомер (2), при прохождении ползунка мимо нижнего датчика (В) секундомер выключается. Числа на линейке обозначают длину в сантиметрах. Секундомер измеряет время в секундах. Ускорение ползунка в любой момент времени вычисляется по формуле
 1) a = 30 м/с²; 2) a = 1,5 м/с²; 3) a = 1,5t; 4) a = 30t.

 Решение.
 По линейке определим расстояние, которое прошел ползунка:

 36. Если с летящего самолета запустить ракету в направлении, противоположном его движению, то ракета разворачивается на 180° и, догнав самолет, поражает его. Как объяснить это явление?

 Решение.
 Хвостовое оперение ракеты служит рулями, которые, взаимодействуя с потоками воздуха, обеспечивают устойчивое движение ракеты вперед головной частью. В случае движения ракеты в направлении, противоположном движению самолета до запуска она двигалась хвостовым оперением вперед. Отделившись от самолета, она продолжает это движение. Взаимодействие хвостового оперения с воздухом разворачивает ракету на 180^о. Ее двигатели ускоряют движение, ракета догоняет самолет.

 33.(П2007-9). Собака сидит на льду озера, а ее хозяин равномерно удаляется от нее со скоростью v = 2 м/с. Когда расстояние между собакой и хозяином достигает S = 100 м, собака решает догнать хозяина, причем хочет в момент встречи иметь такую же скорость, как и он. Из-за того, что лед скользкий, собака не может развивать ускорение больше a = 2 м/с² в каком-либо направлении. За какое минимальное время она сможет догнать хозяина?

 Решение.

   32.(П2004-9) На станции метро есть два эскалатора, движущиеся в противоположных направлениях с одной скоростью. На каждом эскалаторе стоит по пассажиру. В момент, когда пассажиры поравнялись, каждый из них побежал вниз по эскалатору с ускорением a. Один пассажир добежал до основания эскалатора на время Δt раньше, чем другой. Найдите скорость эскалаторов.

 Решение.
 Обозначим искомую скорость v, расстояние от точки встречи пассажиров до основания эскалаторов L, времена движения пассажиров t₁ и t₂. Начальные скорости пассажиров равны v и направлены в противоположные стороны. Запишем уравнения движения:

 31.(П2004-9) Кузьма бежал по кругу с постоянной скоростью. В точке A он встретил Матвея, который бежал с постоянным ускорением по диаметру AB. Скорость Матвея в момент встречи была равна скорости Кузьмы. Кузьма, не изменяя скорости, пробежал полкруга и встретился с Матвеем в точке B, куда тот как раз успел добежать. Определите отношение ускорений Кузьмы и Матвея.

 Решение.
 Обозначим скорость Кузьмы v, ускорение Матвея a, радиус окружности R, время между встречами t.
 Кузьма преодолел расстояние

vt = πR,
а Матвей
vt + at²/2 = 2R.

• Предыдущая задача

 61. Легковой автомобиль двигался по прямолинейному участку дороги со скоростью, модуль которой v. На дороге сидел заяц. Когда автомобиль приблизился к зайцу на расстояние s, тот равноускоренно побежал вперед по направлению движения автомобиля. Определите минимальное ускорение зайцы, с которым он должен бежать, чтобы избежать столкновения с автомобилем. Расчеты провести для случая: v = 39,6 км/ч, s = 25,0 м

 Решение.
 Решим задачу в системе отсчета связанную с зайцем. В этой системе отсчета автомобиль будет двигаться равнозамедленно с ускорением зайца и в конце пути (s = 25,0 м) его скорость станет равной нулю. Тогда

Задачник олимпиадника. Кинематика
 11.(П2003-7). Спортсмен, пробежав стометровку, начал останавливаться в момент пересечения линии финиша и полностью остановился на расстоянии 5 м от нее. Определите, за какое время пробежал спортсмен дистанцию, если его наибольшая скорость во время бега была равна 10 м/с. Считать, что скорость спортсмена при разгоне увеличивалась, а при торможении уменьшалась равномерно, время разгона и торможения одинаково.

 Решение

• Предыдущая задача.

 13(МГИЭТ 2002). Легковой автомобиль движется прямолинейно со скоростью v₁ = 72 км/ч за грузовиком, скорость которого v₂ = 54 км/ч. Когда расстояние между автомобилями составило L = 15 м, легковой автомобиль начал тормозить с ускорением a = 2,5 м/с² и остановился. Найдите минимальное расстояние L_min между автомобилями при их движении.

 Решение.
   Уравнение координаты для легкового автомобиля (начало отсчета связано с легковым автомобилем в момент торможения, ось координат − по направлению движения тел)

• Предыдущая задача.

   12(РГУНГ 2007). Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через 4 с после начала движения достиг скорости 8 м/с. Какой путь прошел автомобиль за четыре секунды движения?

   Решение:
   1-й способ.
   Для определения пройденного пути, потребуется ускорение (начальная скорость равна нулю)

v = at и a = v/t
Путь, пройденный за 4 с равен

• Предыдущая задача.

   7(РГУНГ 2005). За две секунды движения тело прошло путь 20 м, при этом его скорость, не меняя направления, увеличилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Каково было ускорение тела?

   Решение:
   1-й способ.
   Запишем уравнение скорости

v = v_o + at.
   С учетом того, что скорость увеличилась в три раза, то

• Предыдущая задача.

   4(РГУНГ 2003). За четвертую секунду равноускоренного движения тело проходит путь 4 м и останавливается. Какой путь оно прошло за вторую секунду?

   Решение:
   Задачу можно решать в лоб, но мы воспользуемся способом попроще, т.е. от противного. Начнем рассматривать движение в обратном направлении. Тогда за первую (в задаче за четвертую) секунду тело проходит путь 4 м. Это позволит нам быстро определить ускорение

• Предыдущая задача.

   2(РГУНГ 2002). Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 5 м. Найдите полное время полета камня.

   Решение:
   Для решения данной задачи воспользуемся методом от противного. Допустим, камень уже достиг наибольшей высоты. В этой точке камень можно рассматривать, как тело, брошенное горизонтально с высоты h. В этом случае вертикальная составляющая скорости равна нулю. Тело свободно падает в течение времени

t = √{2h/g}.
   Далее, в силу симметрии время подъема равно времени падения. Время полного полета равно

   1(РГУНГ 2002). Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через 4 с после начала движения достиг скорости 8 м/с. Какой путь прошел автомобиль за четвертую секунду движения?

   Решение:
   Воспользуемся уравнением скорости v = v_o + at и определим ускорение автомобиля a = v/t, так как v_o = 0 (после начала движения).