Готовимся к олимпиаде по физике. 9 класс.

Минимум и максимум.

 Задача. Мальчик подошел к последнему вагону электрички в тот момент, когда электричка тронулась и начала двигаться с постоянным ускорением а. Единственная открытая дверь электрички оказалась от мальчика на расстоянии S. Какую наименьшую постоянную скорость должен развить мальчик, чтобы успеть сесть в поезд?

 Решение.
 1-й способ.
 Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат совпадало с начальным положением мальчика, а ось x была направлена вдоль платформы.

Пусть мальчик бежал со скоростью v и запрыгнул в вагон через время t. Так как мальчик запрыгнул в эту дверь, то можно записать
vt = s + at²/2. (1)
Из уравнения (1) выразим v.
v = s/t + at/2. (2)
 По условию задачи скорость должна быть минимально возможной.
Воспользуемся математическим соотношением
x + 1/x ≥ 2
причем равенство будет только при х = 1.
 За х можно обозначить любую величину. Например, можно написать, что
v = √{as/2} × ((1/t)√{2s/a} + t√{a/(2s)}).
Теперь положим
x = (1/t)√{2s/a} = 1
и получим
t = √{2s/a}, v = √{2as}.

 2-й способ.
 Чем медленнее мальчик будет бежать, тем больше времени он затратит. А при какой-то скорости он вообще не догонит эту дверь. Выразим время из уравнения (1):

t = (v ± √{v² − 2as})/a.
При v² < 2as решения не существует, так как выражение под корнем меньше нуля! Значит, минимально возможная скорость определяется равенством
v² = 2as,
и
v = √{2as},
а время
t = v/a = √{2as}/a = √{2s/a}.

 3-й способ.
 Построим графики зависимости координат мальчика и двери от времени. В тот момент, когда они пересекутся, мальчик и догонит дверь поезда.

 Чем меньше наклон графика координаты мальчика, тем медленнее он бежит. Наименьшая скорость, при которой он может добежать до двери, соответствует нижней прямой. А она касается графика координаты двери. Это значит, что для такого случая скорости мальчика и двери в момент запрыгивания одинаковы! Скорость двери мы легко найдем:
v_д = at,
откуда
t = v_д/a.
Подставим это время в уравнение (1)
v²/a = s + v²/(2a),
v²/(2a) = s, и v = √{2as}.
Тогда время
t = v/a = √{2as}/a = √{2s/a}.

 4-й способ.
 Возьмем производную по времени от выражения (2) и приравняем ее к нулю

v^/ = −s/t² + a/2 = 0.
Отсюда
s/t² = a/2, и t = √{2s/a}.
Подставляя время в формулу (2),
v = s/√{2s/a} + a√{2s/a}/2
v = √{as/2} + √{sa/2} = 2√{as/2} = √{2as}.

 5-й способ.
 Перейдем в систему отсчета, которая связана с мальчиком. В этой системе начальная скорость открытой двери равна −v, ее начальная координата s, ускорение a, и поэтому зависимость координаты открытой двери х₁ от времени имеет вид

x₁ = s − vt + at²/2. (3)
Условием того, что мальчик добежит до двери, будет равенство
x₁ = 0,
т.е. в этот момент парабола (3) пересечет ось абсцисс на координатной плоскости (х₁, t).
 Наименьшая скорость соответствует случаю, когда парабола коснется оси t. Вам остается только найти выражение для координат вершины параболы и приравнять х₁ к нулю. Проделайте это самостоятельно, и сравните с ответами полученными способами выше.

 Для самостоятельной работы. Решите задачу и сверьте свое решение с предложенным ниже.
 50. С какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы равномерно перемещать сани массой m = 10 кг по горизонтальному асфальту, если коэффициент трения скольжения μ = 0,7? [решение]

---

 Смотрите еще:
 Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
 Подготовка олимпиадника.
 Подготовка абитуриента.