Законы сохранения. МГУ
   234. Шар A массы m, закрепленный на длинной невесомой спице, образует маятник, который может совершать колебания, вращаясь вокруг оси O (рис.). Шар A отклонен на высоту h и отпущен без начальной скорости. В нижней точке своей траектории шар A соударяется с двигающимся навстречу шаром B, масса которого M. Шар B, подобно шару A, закреплен на длинной невесомой спице, вращающейся вокруг оси O₁. Непосредственно перед соударением скорости шаров направлены вдоль линии, соединяющей их центры. Какую скорость v должен иметь шар B перед соударением, чтобы шар A после соударения поднялся бы на ту же самую высоту h? Удар абсолютно упругий. Трение в осях и о воздух не учитывать. [v = (m/M)√{2gh}]

   235. Шарик массы m₁, движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся шарик массы m₂. Происходит абсолютно упругий центральный удар. Найти, при каком соотношении масс m₁ и m₂ шарики после удара разлетятся в противоположные стороны с равными по абсолютной величине скоростями. [3]

   236. Спутник, масса которого m = 1 т, летит на высоте h₁ = 200 км от поверхности Земли по круговой орбите. Постепенно, в силу торможения о верхние слои атмосферы, радиус орбиты спутника уменьшается (при этом можно считать, что орбита остается круговой). Какую энергию теряет спутник на торможение при переходе на орбиту с h₂ = 480 км? Точность расчета 5 %. [Δ ≈ 2,9 × 10⁸ Дж]

   237. На горизонтальной поверхности находится неподвижная абсолютно гладкая полусфера радиуса R = 180 см. С верхней точки се без начальной скорости соскальзывает малое тело (рис.). В некоторой точке оно оторвется от полусферы и полетит свободно. Определить время t свободного падения тела. [t ≈ 0,3 c]

   238. Небольшое тело соскальзывает без начальной скорости с гладкой наклонной плоскости, длина которой l = 16 см, а угол наклона α = 30°. Затем оно падает на гладкую горизонтальную плоскость, находящуюся на расстоянии h = 20 см от нижнего конца наклонной плоскости. На какую наибольшую высоту H от горизонтальной плоскости "поднимется тело после удара об нее, если этот удар абсолютно упругий? [H ≈ 22 см]

   239. Два малых тела, массы которых относятся как 1:2, одновременно начинают соскальзывать без трения по внутренней поверхности полусферы радиуса R (рис.). Удар тел абсолютно неупругий. На какой угол α от вертикали отклонятся тела после удара? [cosα = 8/9]

   240. На краях подвижной платформы, длина которой l = 10 м, вес P = 500 кг, стоят два человека: вес первого P₁ = 60 кг, а второго P₂ = 40 кг. В момент t = 0 они начинают бежать по платформе навстречу друг другу, причем скорость первого в два раза больше скорости второго. На какое расстояние x откатится платформа, когда первый человек добежит до ее конца? Трением платформы о рельсы пренебречь. [x = 2/3 м]

   241. Нужно выкопать колодец глубиною h_o = 20 м. При какой глубине колодца h будет совершена 1/3 всей необходимой работы по выемке грунта? Плотность грунта считать везде одинаковой. [h ≈ 11,6 м]

   242. На абсолютно гладкой поверхности неподвижно лежат две одинаковые шайбы 1 и 2 массой М каждая. Между ними на линии, соединяющей центры этих шайб, имеется шайба 3 массой М/4 (тех же размеров), которая движется со скоростью v в направлении второй шайбы (рис.). Считая столкновения шайб абсолютно упругими, определить по величине и направлению скорости всех трех шайб после того, как столкновения прекратятся. [v₁ = −(6/25)v, v₂ = (2/5)v, v₃ = (9/25)v]

   243. К концам проволоки длиной l = 0,2 м, согнутой посередине под прямым углом, прикреплены шарики одинаковой массы. Проволоку повесили углом на гвоздь A (рис.), а затем отклонили так, что одно колено проволоки стало горизонтальным, а другое вертикальным, и отпустили без толчка. Найти модуль скорости шариков в момент прохождения положения равновесия. Проволоку считать жесткой и невесомой. Трением пренебречь. [v = ≈ 0,63 м/с]

   244. Маленькое тело массы m свободно падает с высоты h. попадает в середину однородной доски массы М и мгновенно прилипает к ней (рис.). Доска лежит горизонтально на пружине, коэффициент упругости которой равен k. Определить максимальное сжатие (то есть изменение длины) пружины. Массой пружины пренебречь. [x_max = (m + M)g/k + √{(m + M)²g²/k² + 2m²gh/(k(m + M))}]

   245. Сколько угля потребуется для переправки каравана судов на расстояние L = 100 км, если буксирный трос натягивается с силон |F| = 80 кН, а буксир без каравана при той же самой мощности двигателя развивает скорость в n = 4 раза большую, сжигая одно и то же количество угля в час? Считать, что сопротивление воды пропорционально скорости. КПД судового двигателя 10 %. [m = n²FL/((n² − 1)ηq)]

   246. В лежащее на гладкой горизонтальной поверхности тело массы М = 1 кг попадает пуля, летящая горизонтально со скоростью v₁ = 200 м/с, и пробивает его насквозь. Скорость пули после вылета из тела стала v₂ = 100 м/с. Масса пули m = 20 г. Определить количество теплоты Q, полученное телом. [Q = 298 Дж]

   247. После взрыва ракеты, летящей вертикально, образовались три осколка одинаковой массы, которые упали на землю одновременно. Расстояния от места старта до места падения двух из них равны S₁ = 3 км и S₂ = 4 км, причем линии, соединяющие места их падения с местом старта, составляют между собой прямой угол. Каково расстояние S₃ от места старта до места падения третьего осколка? (При вычислениях сопротивление воздуха не учитывать.) [S₃ = 5 км]

   248. На платформе пружинных весов массы М = 10 кг лежит тело массы m = 3 кг (рис.). С какой минимальной силой F нужно сдавить пружину весов, чтобы после прекращения действия силы тело при подъеме подпрыгнуло на платформе? [F = 130 H]

   249. Спутник, масса которого m = 2 × 10³ кг, из-за торможения о верхние слои атмосферы переходит с орбиты, расположенной на высоте h₁ = 210 км над поверхностью Земли, на орбиту с высотой h₂ = 200 км. Какую энергию теряет при этом спутник? В обоих случаях орбиту спутника считать круговой. Ускорение свободного падения можно считать постоянным и равным g = 10 м/с². [ΔE = 3 × 10⁸ Дж]

   250. Шарик массы m₁ движется без трения по горизонтальной поверхности и сталкивается с покоящимся шариком массы m₂. Удар считать центральным и абсолютно упругим. При каком соотношении масс шариков они разлетятся в противоположные стороны с равными по абсолютной величине скоростями? [m₂ = 3m₁]

   251. Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности с высоты H = 1,2 м. Наклонная поверхность переходит в петлю, как показано на рисунке. Найти величину работы силы трения, если известно, что сила давления тела на петлю в верхней точке равна нулю, масса тела m = 10 г, радиус петли R = 0,4 м. Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с². [A = mg(H − (5/2)R) = 2 × 10⁻² Дж]

   252. Невесомый рычаг может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O (рис.). Массы m₁ и m₂, закрепленные на концах рычага, находятся, соответственно, на расстояниях l₁ и l₂ от оси. В начальном положении рычаг отклонен на угол α от вертикального положения. После освобождения рычаг совершает колебания. Определить линейную скорость массы m₂ в момент прохождения положения равновесия. [v₂ = l₂√{2g(1 − cosα)(m₂l₂ − m₁l₁)/(m₁l₁² + m₂l₂²)}, если в положении устойчивого равновесия масса m¹ находится выше оси вращения, и v₂ = l₂√{2g(1 + cosα)(m₁l₁ − m₁l₁)/(m₁l₁² + m₂l₂²)}]

   253. Два конькобежца с массами m₁ = 40 кг и m₂ = 60 кг встали на лед друг против друга, держась за легкий шнур и слегка натянув его. Затем один из них начинает укорачивать шнур, наматывая его на руку. Какую работу A он совершит к тому моменту, когда будет выбирать шнур со скоростью v = 2 м/с? Трением о лед пренебречь. Укорачивание шнура происходит при постоянном натяжении. [A = m₁m₂v²/(2(m₁ + m₂)) = 48 Дж]

   254. На гладкой горизонтальной плоскости на некотором расстоянии друг от друга стоят две одинаковые гладкие горки массой M и высотой H (рис.). На вершине одной из них находится небольшое тело массой m. После легкого толчка тело соскальзывает с этой горки и поднимается на другую. На какую максимальную высоту h поднимется тело по второй горке? [h = H/(1 + m/M)²]

   255. Деревянный поршень прикреплен к цилиндру с помощью невесомой пружины жесткостью k. При движении поршня между ним и цилиндром возникает постоянная по модулю сила трения F. Пуля, летящая со скоростью v, направленной вдоль оси цилиндра, попадает в поршень и застревает в нем. На сколько при этом сместится поршень? Масса пули m, масса поршня М. Цилиндр закреплен. [x = −(F/k) + √{(F/k)² + m²v²/(k(M + m))}]

   256. Два тела с массами m₁ = 0,2 кг и m₂ = 0,1 кг связаны резиновым жгутом и находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Система движется под действием постоянной горизонтальной силы F = 6 Н, приложенной к первому телу. Найдите потенциальную энергию деформации жгута, если известно, что под действием силы F_o = 1 H он растягивается на x_o = 5см. Движение считать установившимся; массой резинового жгута пренебречь, трение можно не учитывать. [E_n = 0,1 Дж]

   257. Из большого резервуара откачивают воду с помощью насоса, потребляющего мощность N = 2,5 кВт. Насос соединен с гладким шлангом, наконечник которого расположен на уровне воды в резервуаре так, что струя воды выхолит вертикально. Расход воды составляет Q = 108 м³/ч. Какой высоты достигает струя воды? Коэффициент полезного действия насоса η = 60 %. Плотность воды ρ = 10³ кг/м³. Влиянием обратного потока воды можно пренебречь. [H = ηN/(Qρg)]

   258. Длинный невесомый жесткий стержень может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки O (рис.). На стержне на расстояниях l₁ и l₂ от точки O закреплены небольшие по размерам грузы массой m₁ и m₂ соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол α и отпустили. Каково будет натяжение стержня в точке A, находящейся между грузами, в момент прохождения стержнем положения равновесия? [T = m₂g(1 + 4(m₁l₁ + m₂l₂)l₂sin²(α/2)/(m₁l₁² + m₂l₂²))]

   259. Две пружины вставлены в закрепленную горизонтально трубку и разделены подвижным поршнем (рис.). Первая пружина имеет жесткость k₁ и упирается вторым концом в дно трубки. Вторая пружина имеет жесткость k₂ и упирается вторым концом во второй подвижный поршень с ограничителем в виде штока. В недеформированном состоянии расстояние между разделительным поршнем и концом ограничителя второго поршня равно l. Какую работу нужно совершить, действуя медленно возрастающей по величине силой на второй поршень, чтобы шток дошел до разделительного поршня? Трением пренебречь. [A = k₂(k₁ + k₂)l²/(2k₁)]

   260. В закрепленную вертикальную трубку вставлена невесомая пружина, верхний конец которой прикреплен к подвижному поршню массы М (рис.). Нижний коней пружины упирается в дно трубки. Пружина сжата до длины l и удерживается в сжатом состоянии с помощью защелки. На поршень положили шарик массой m. На какую высоту подскочит шарик, если освободить пружину, сдвинув защелку? Пружина в переформированном состоянии имеет длину L. Жесткость пружины k. Трением пренебречь. [h = k(L − l)₂/(2g(m + M))]

   261. Пуля, летящая горизонтально со скоростью v_o = 510 м/с, попадает в ящик, лежащий на горизонтальной поверхности на расстоянии d = 0,5 м от стены дома, и, пробив ящик, вылетает в том же направлении со скоростью v = 10 м/с. Ящик начинает двигаться по направлению к стене. Ударится ли ящик о стену дома? Коэффициент трения между ящиком и поверхностью μ = 0,1, масса ящика M = 10 кг, масса пули m = 10 г. ускорение свободного падения g = 10 м/с². [Ящик о стенку не ударится, так как пройденный им путь l = 0,125 м меньше расстояния до стены d = 0,5 м]

   262. Два одинаковых свинцовых шарика брошены вертикально вверх один вслед за другим через некоторый промежуток времени с одинаковыми начальными скоростями v_o. Шарики столкнулись на высоте h и слиплись. На сколько поднимется температура шариков? Удельная теплоемкость свинца равна с. [ΔT = (v_o^o − 2gh)/(2c)]

   263. Брус массой m поднимается вдоль наклонной плоскости при помощи веревки, наматываемой на вал электромотора (рис.). Движение бруса равноускоренное, в начальный момент t_o = 0 скорость бруса была равна v_o, а в момент t стала равна v. Определите развиваемую электромотором мощность в момент t, если угол наклона наклонной плоскости α, a коэффициент трения между брусом и плоскостью μ. [N = ((v − v_o)m/t + mg(sinα + μcosα))v]

   264. Шарик массой m = 10 г, падая без начальной скорости с некоторой высоты, ударился о горизонтальную плиту и подпрыгнул на высоту H = 0,8 м. При ударе изменение импульса шарика составило Δp = 0,17 кг × м/с. Найдите, на какую высоту подпрыгнет шарик после следующего удара, если при каждом ударе шарик теряет одну и ту же часть энергии. Сопротивлением воздуха пренебречь. [H^/ ≈ 0,07 м]

   265. Лифт массой M = 1000 кг поднимается лебедкой с постоянным ускорением. На некотором участке пути длиной l = l м лифт двигался со средней скоростью v = 5 м/с, и скорость его возросла на Δv = 0,5 м/с. Какая работа совершена по перемещению лифта на указанном отрезке пути? Трением пренебречь. [A = MvΔv + Mgl = 1,25 × 10⁴ Дж]

   266. Доска с покоящимся на ее краю бруском двигается со скоростью v_o = 3 м/с (рис.). При внезапной остановке доски брусок начинает скользить по ее поверхности. Найдите коэффициент трения между бруском и доской, если в момент соскальзывания бруска его кинетическая энергия уменьшилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Длина доски l = 0,45 м. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². [μ = 0,66]
   267. На легкой нерастяжимой нити длиной l = 0,5 м подвешен шарик массой m₁ = 0,1 кг. Летевшая горизонтально со скоростью v = 10 м/с пуля массой m = 0,01 кг попадает в шарик и застревает в нем. Найдите натяжение нити сразу после соударения. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². Размер шарика мал по сравнению с длиной нити. [T = 1,28 H]

   268. По горизонтальной поверхности, плавно переходящей в поднимающуюся наклонную плоскость, катится со скоростью v, без проскальзывания тонкостенный обруч. На какую максимальную высоту может подняться этот обруч? [h = v²/g]

   269. На наклонную плоскость, образующую угол α с горизонтом, положили небольшую шайбу, сообщив ей скорость v_o вверх вдоль наклонной плоскости. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен μ, причем μ < tgα. Найти скорость шайбы при обратном движении в момент прохождения ею первоначального положения. [v = v_o√{(tgα − μ)/(tgα + μ)}]

   270. Мощность, развиваемая двигателем ракеты, неподвижно зависшей над землей, равна N. Найти скорость истечения газов из сопла двигателя, если масса ракеты равна m, а ускорение свободного падения равно g. [v = 2N/(mg)]

   271. Лежащий на горизонтальной плоскости гладкий брусок массы M прикреплен к вертикальной стене легкой пружиной жесткости k. При недеформированной пружине брусок торцом касается грани кубика, масса которого много меньше M. Ось пружины горизонтальна и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центры кубика и бруска. Сдвигая брусок, пружину сжимают вдоль ее оси на величину Δx, после чего брусок отпускают без начальной скорости. На какое расстояние передвинется брусок после идеально упругого удара, если коэффициент трения бруска о плоскость достаточно мал и равен μ? [μ ≈ 2kΔx/(Mg)]

   272. Два одинаковых кубика лежат на гладкой горизонтальной плоскости, касаясь гранями. К серединам противоположных граней каждого кубика прикреплены две невесомые пружины. Другие концы пружин закреплены так, что их горизонтальные оси совпадают. В начальном состоянии пружины не деформированы. Один кубик смещают от другого вдоль оси пружин на расстояние Δx и отпускают без начальной скорости. Найти максимальное смещение второго кубика после удара. Удар считайте абсолютно неупругим. [Δx_m = Δx/2]

   273. На плоскости, образующей с горизонтом угол α, удерживают куб массы m. Коэффициент трения куба о плоскость равен μ, причем μ < tgα. К середине грани куба прикреплена пружина жесткости k, верхний конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, а ее ось образует с горизонтом угол α и продолжение ее проходит через центр куба. Какую максимальную скорость приобретет куб, если его перестать удерживать в этом положении. [v_m = g(sinα − μcosα)√{m/k}]

   274. Два шара одинакового радиуса с массами m и M, скрепленные легкой пружиной жесткости k, лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Ось пружины совпадает с прямой, проходящей через центры шаров. Пружина сжата прикрепленной к шарам нитью на величину Δx. Найти максимальную скорость шара массы m при колебаниях, возникающих после пережигания нити. [v_m = √{kM/(m(m + M)Δx)}]

   275. К середине боковой стороны бруска массы M, лежащего на горизонтальной плоскости стола, прикреплена легкая пружина жесткости k, другой конец которой прикреплен к вертикальной стенке так, что ось пружины горизонтальна. К середине противоположной стороны бруска прикреплена легкая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный блок. На нити висит другой блок, к оси которого подвешен кубик массы m. Верхний конец нити прикреплен к потолку. Первоначально кубик удерживается в положении, при котором пружина не деформирована, а нить слегка натянута. Отрезки нити, не лежащие на блоках, либо горизонтальны, либо вертикальны. Пренебрегая трением и массой блоков, найти максимальную скорость бруска после отпускания кубика без начальной скорости. [v_ym = mg/√{k(4M + m)}]

   276. На горизонтальной плоскости стоит подставка, на которой укреплена тонкая жесткая изогнутая трубка, как показано на рисунке. Масса подставки с трубкой равна M. Верхний конец трубки расположен на высоте H над плоскостью. Высота горизонтального участка трубки равна h, а его конец лежит на одной вертикали с серединой верхнего конца. В верхний конец опускают без начальной скорости небольшое тело массы m. На каком расстоянии по горизонтали от исходной точки тело упадет на плоскость при отсутствии сил трения? [x = 2√{h(H − h)/(1 + m/M)}]

   277. Небольшой шайбе массы m ударом сообщили скорость v вверх вдоль наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α. Шайба останавливается через время t после начала движения. Найти среднюю силу сопротивления, действовавшую на шайбу во время движения. [F_cp = (v/τ − gsinα)m]

   278. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы M. На конец доски кладут шайбу массы m, которой ударом сообщают скорость v вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен μ. На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если известно, что шайба не соскальзывает с доски? [x_к = Mv²/(2μg(m + M))]

   279. На легкой нерастяжимой нити длиной L висит небольшой шарик массы m. По шарику нанесли удар в горизонтальном направлении. Известно, что пока шарик после удара двигался по дуге окружности, он поднялся на высоту h. Найти среднюю силу, действовавшую на шарик во время удара, если длительность удара t много меньше периода малых колебаний шарика. Трением пренебречь. [f ≥ √{5gL}/τ] [решение]

   280. На невесомый гладкий стержень, согнутый под углом α = 60° в горизонтальной плоскости, надеты две небольшие одинаковые муфты M, соединенные между собой и с вершиной угла тремя легкими одинаковыми пружинами. Длина недеформированной пружины равна L, жесткость – k. Какую работу нужно совершить, чтобы раскрутить эту систему вокруг вертикальной оси, проходящей через точку O, до такой скорости, при которой длина пружин увеличится в n раз? [A = 1,5k(n − 1)(2n − 1)L²]

   281. Снаряд, вылетев из пушки со скоростью v под углом α к горизонту, разорвался на две равные части в верхней точке траектории. Первая часть полетела вертикально вверх, а скорость второй части оказалась в n раз больше скорости первой. Найти расстояние между осколками через время τ после взрыва, если к этому моменту еще ни один осколок не долетел до земли. [L(τ) = 2vτ√{(n² + 3)(n² − 1)}cosα]

   282. На горизонтальном столе лежит небольшая шайба. После первого удара шайба остановилась, пройдя путь S₁ = 36 см. После второго удара шайба переместилась на расстояние S₂ = 49 см. На какое расстояние переместилась бы шайба, если бы оба удара были нанесены одновременно, причем угол между направлениями ударов был бы равен α = 60°? [S₃ = S₁ + S₂ + 2√{S₁S₂}cosα = 1,27 м]

   283. Маленький шарик влетает со скоростью v в жесткую квадратную рамку, лежащую на горизонтальной плоскости, через небольшую щель в центре одной стороны и ударяется о другую сторону под углом 45°. Найдите направление и величину скорости шарика после окончания всех соударений с рамкой. Удары считать абсолютно упругими, масса рамки равна массе шарика, центр масс рамки совпадает с ее геометрическим центром, трения нет. [решение]

   284. В однородном бруске, стоящем на горизонтальном столе, вырезан цилиндрический желоб радиусом R. Масса оставшейся части бруска равна M. На край желоба кладут небольшую шайбу массой m так, что она располагается в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска, и отпускают ее без начального толчка. Пренебрегая трением, найдите скорость шайбы относительно бруска в нижней точке ее траектории. [v_om = √{2gR(1 + m/M)}]

   285. К бруску массой m, лежащему на горизонтальной плоскости, прикреплена легкая пружина жесткостью k, второй конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, а ее ось горизонтальна и проходит через центр масс бруска. Брусок смещают вдоль оси пружины на расстояние ΔL и отпускают без начальной скорости. Найдите максимальную скорость бруска, если его коэффициент трения о плоскость равен μ. [v_max = 0 при kΔL ≤ μmg, v_max = √{(k/m)(ΔL − μmg/k)} при kΔL > μmg]

   286. На свободно вращающиеся обода двух одинаковых велосипедных колес, центры которых лежат на одной вертикали, а оси закреплены горизонтально и параллельны, натянута легкая шероховатая нерастяжимая нить, концы которой прикреплены к грузу массой m, удерживаемому вблизи верхнего обода (рис.). Толщина обода много меньше его радиуса, а масса обода много больше массы спиц и втулки колеса и равна M. С каким ускорением будет двигаться груз после его освобождения до момента касания нижнего обода? [a = mg/(m + 2M)]

   287. На гладком горизонтальном столе покоятся два одинаковых кубика массой M каждый. В центр левого кубика попадает пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью, равной v_o и направленной вдоль линии, соединяющей центры кубиков. Пробив насквозь левый кубик, пуля летит дальше со скоростью v_o/2, попадает в правый кубик и застревает в нем. Через какое время τ после попадания пули в левый кубик кубики столкнутся, если начальное расстояние между ними равно L? Размерами кубиков пренебречь. [τ = 2LM/(v_om²)]

   288. На горизонтальном столе покоится клин массой M = 4 кг. Сверху на клин падает шарик массой m = 1 кг. Определите угол при основании клина α, если известно, что после упругого удара о клин шарик отскочил под углом β = 45° к вертикали. Трением пренебречь. [α = arctg0,4]

   289. Маленький шарик, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия и отпускают без начальной скорости. Определите, с каким ускорением a₁ начнет двигаться шарик, если известно, что в момент прохождения шариком нижней точки траектории его ускорение равно a₂ = 15 м/с². Нить считать невесомой и нерастяжимой, сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². [a₁ = (1/2)√{a₂(4g − a₂)} ≈ 9,7 м/с²]

   290. На краю стола высотой h = 0,8 м лежит маленький шарик. В него попадает тело, масса которого много больше массы шарика. Скорость тела v_o =10 м/с. Удар абсолютно упругий. На каком расстоянии от стола шарик упадет на землю? [l = 2v_o√{2h/g} = 8 м]

   291. На край стола поставили вертикально невесомой стержень длиной L, на концах которого закреплены маленькие тяжелые одинаковые шарики A и B, а затем его отпустили без начальной скорости. Стержень стал падать в направлении, указанном изогнутой стрелкой на рисунке, оставаясь в вертикальной плоскости, перпендикулярной краю стола. С какой угловой скоростью будет вращаться стержень после отрыва от стола, если до этого шарик B не скользил по столу? [ω = √{g/L}]

   292. Второй космической скоростью v_2к называется минимальная скорость, которую нужно сообщить в вертикальном направлении телу для того, чтобы оно неограниченно удали лось от поверхности планеты, причем скорость тела на бесконечно большом расстоянии от планеты принимается равной нулю. Известно, что для Земли v_2к = 11,2 км/с. Какова будет скорость тела на бесконечно большом расстоянии от Земли, если на поверхности Земли сообщить ему вертикальную скорость u = 12,2 км/с? Влиянием вращения Земли вокруг оси и притяжением других небесных тел пренебречь. [v_∞ = √{u² − v_2к²} = 4,84 км/с]

   293. Начиная движение из состояния покоя, кабина лифта поднимается на высоту H = 30 м и останавливается. Найдите, какая работа A была совершена при этом двигателем лифта, если максимальная мощность, развиваемая им при подъеме, составила N = 2 кВт. Полное время подъема кабины τ = 8 с, разгон и замедление кабины происходили в течение одинакового времени τ₁ = 2 c с постоянным по величине ускорением, остальное время кабина двигалась равномерно. Коэффициент полезного действия двигателя считать равным 100 %, ускорение свободного падения g = 10 м/с². [A = 9,6 Дж]

   294. Закрепленная наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 60°. С высоты h на наклонную плоскость падает небольшой шарик (без начальной скорости). При ударе о плоскость изменение импульса шарика составило Δp = 0,08 кг•м/с. Считая удар абсолютно упругим, найдите высоту h, с которой упал шарик. Масса шарика m = 20 г. Принять g = 10 м/с². [h = 0,8 м]

   295. Автомобиль массой m со всеми ведущими колесами, стоящий на прямолинейном горизонтальном участке дороги, начинает движение. При этом двигатель развивает постоянную мощность N. Коэффициент трения колес о дорогу μ. Пренебрегая силой сопротивления движению автомобиля, найдите зависимость его скорости v от времени. [v(t) = μgt при 0 ≤ е ≤ τ = N/(mμ²g²), v(t) = (2t − N/(mμ²g²)) × √{N/m} при τ ≤ t]

   296. Шарик массой m подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 1 м (рис.). В него ударяется шарик массой 2m, летящий в плоскости рисунка со скоростью v_o так, что вектор скорости направлен горизонтально вдоль линии, соединяющей центры шариков. Какой должна быть скорость v, чтобы после удара шарик массой m совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости? Удар считать абсолютно упругим, силы трения не учитывать. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². [v_o = (3/4)√{5gl} = 5,25 м/с]

   297. Два одинаковых шарика массой m каждый, связанные пружиной жесткостью k и длиной l, лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе (рис.). Третий такой же шарик движется со скоростью v_o по линии, соединяющей центры шариков, связанных пружиной, и совершает упругое соударение с одним из них. Определите максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении. Принять, что v_o < l√{2k/m}. Массой пружины, временем соударения и трением пренебречь. [l_max = l + v_o√{m/(2k)}, l_min = l − v_o√{m/(2k)}]

   298. Тело массой m = 0,5 кг движется вдоль оси ОХ под действием одной силы F. При этом его ускорение зависит от координаты так, как показано на графике (рис.). Определите работу, совершаемую этой силой на первом этапе x = 4 м пути. [A = 6 Дж]

   299. На закрепленном цилиндре, ось которого горизонтальна, удерживают невесомую нерастяжимую нить, к концам которой прикреплены маленькие грузы разных масс. Нить располагается в вертикальной плоскости, перпендикулярной образующей цилиндра, а грузы находятся на горизонтальной прямой, проходящей через ось цилиндра. Найдите отношение масс грузов n, если после отпускания нити без толчка более легкий груз отрывается от поверхности цилиндра в его верхней точке. Трением и влиянием воздуха на движущиеся тела пренебречь. [n = 3/(π − 1)]

   300. Правая чаша рычажных весов находится под мелким моросящим дождем, а левая укрыта от него навесом. Каждая чаша представляет собой тонкостенную цилиндрическую емкость с площадью дна S = 0,05 м² и высотой бортика h = 1 мм. Интенсивность равномерно падающего дождя такова, что дождевая вода целиком заполняет предварительно опорожненную чашу весов за время t = 30 c. Какой массы m гирю нужно положить на левую чашу весов, чтобы уравновесить весы в случае, когда правая чаша заполнена дождевой водой до краев? Капли дождя падают вертикально со скоростью v = 3 м/c. Плотность воды ρ = 10³ кг/м³. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². Соударение капель с водой в чаше считать неупругим. [m = ρSh(1 + v/(gτ)) = 50,5 г]

   301. Развивая максимальную мощность двигателя, автобус движется по горизонтальному участку шоссе с постоянной скоростью v_o. Когда автобус при неизменной мощности двигателя въезжает на подъем с углом наклона α₁, его скорость падает до v₁. С какой скоростью v₂ автобус будет преодолевать подъем с углом наклона α₂ < α₁ при той же мощности, развиваемой двигателем? Проскальзывание ведущих колес автобуса на всех участках шоссе отсутствует. Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости автобуса. [v₂ = (1/2)(√{u² + 4v_o²} − u), где u = (v_o² − v₁²)sinα₂/(v₁sinα₁)]

   302. Садовый насос, расположенный в скважине на глубине h, подает воду на поверхность земли по шлангу площадью сечения S. Какую мощность N развивает насос, если известно, что он наполняет водой ведро объемом V за время τ? Плотность воды ρ, ускорение свободного падения g. [N = (ρV/τ) × (gh + V²/(2S²τ²))]

   303. На гладкой горизонтальной поверхности находится клин, имеющий массу M = 0,64 кг (рис.). О гладкую наклонную поверхность клина ударяется шарик массой m = 0,15 кг, летевший горизонтально. Каким должен быть угол клина α, чтобы шарик отскочил вертикально вверх? Удар считать абсолютно упругим. [ctgα = √{(M − m)/M} = 7/8]