Законы сохранения. МФТИ
   153. На две частицы − одну массы m, летящую со скоростью v. другую массы 2m, летящую со скоростью 2v, направленной перпендикулярно v (рис.) − в течение некоторого времени действуют одинаковые по величине и направлению силы. К моменту прекращения действия сил правая частица поворачивает и начинает двигаться в обратном направлении со скоростью 2v, как изображено на рисунке. С какой скоростью стала двигаться вторая частица? [u = 2,5v]

   154. Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии l = 30 см от края стола. Пуля массы m = 1 г, летящая горизонтально со скоростью v_o = 150 м/с, пробивает коробок и вылетает из него со скоростью v = v/2. Масса коробка M = 50 г. При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадет со стола? [k ≈ 0,375]

   155. Частица массы m, движущийся со скоростью v налетает на покоящуюся частицу массы m/2 и после упругого удара отскакивает под углом α = 30^o к направлению своего первоначального движения. С какой скоростью начнет двигаться вторая частица? [v₁ = 2v/√3]

   156. Водометный катер забирает забортную воду и выбрасывает ее назад со скоростью V относительно катера. При этом он движется со скоростью v. К катеру на длинном тросе прицепили буксируемое судно, сила сопротивления которого при одинаковой скорости движения равна сопротивлению катера. Определить скорость буксира, если известно, что силы сопротивления катера и буксируемого судна изменяются пропорционально их скоростям. [V₁ = Vv/(2V − v)]

   157. Маленький кубик массы m налетает со скоростью v на тело массы М, стоящее на гладкой горизонтальной поверхности, и скользит по стене тела без трения. Стенка имеет форму полукруга радиуса R (рис.). Кубик достиг точки А. Найти скорости кубика и тела в этот момент. [u = v√{(M/(m + M)) + m²/(m + M)²}]

   158. Шарик массы m подвешен на нити длины l. С какой скоростью v нужно потянуть точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный оборот в вертикальной плоскости? [v ≥ √{5gl}]

   159. Имеется очень маленькая неподвижная наклонная плоскость с углом α. На нее налетают горизонтально два шарика: сначала первый, который отскакивает упруго, а затем второй, который отскакивает неупруго. При каком угле α шарики улетят на одинаковое расстояние? [α₁ = arccos√{2/3}, α₂ = arccos√{2/5}]

   160. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты H по гладкой доске, наклоненной под углом α = 60^o к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный пол. Коэффициент трения мешка о пол μ = 0,7. Где остановится мешок? [мешок остановится сразу после попадания на горизонтальный пол]

   161. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом α = 45^o к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность равен μ = 0,5. На каком расстоянии от конца доски остановится мешок? [l = 0,25 м]

   162. Цирковой гимнаст падает с высоты H = 1,5 м па туго натянутую упругую предохранительную сетку. Каково будет максимальное провисание гимнаста в сетке, если в случае спокойно лежащего в сетке гимнаста провисание l = 0,1 м? [x = l + √{l² 2lH} = 0,66 м]

   163. В центр шара массы M₁ = 300 г, лежащего на краю стола, попадает горизонтально летящая пуля массы M₂ = 10 г и пробивает его насквозь. Шар падает на расстоянии S₁ = 6 м от стола, а пули – на расстоянии S₂ = 15 м. Высота стола H = 1 м. Определить первоначальную скорость нули. [v = 435 м/с]

   164. Обруч радиуса r скатился без проскальзывания с горки высоты h (см. рис.). Найдите скорость и ускорение точки обода В. Трением пренебречь. [a = gh/r]

   165. Обруч радиуса r скатился без проскальзывания с горки высоты h (см. рис.). Найдите скорость и ускорение точки A обода. Трением пренебречь. [a = gh/r]

   166. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой M = 50 кг и головного защитного конуса массой m = 10 кг. Конус сбрасывается вперед сжатой пружиной. При испытаниях на Земле с закрепленной ракетой пружина сообщала конусу скорость v_o = 5,1 м/с. Какова будет относительная скорость конуса и ракеты, если их разделение произойдет на орбите? [v_om = 5,6 м/с]

   167. Станина с укрепленной на ней пушкой начинает соскальзывать с наклонной плоскости, имеющей угол наклона α. Коэффициент трения равен μ. В момент времени t из пушки производится выстрел в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости. Определить, чему должна быть равна начальная скорость снаряда, чтобы произошла кратковременная остановка пушки? Масса снаряда m, станины с пушкой М, причем m ≤≤ M. [v_c ≥ (M/m)gtcosα × (tgα/μ − 1)]

   168. Тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нити длиной l = 1 м, отклоняют от вертикали на 90^o и затем толчком отпускают с некоторой начальной скоростью v_o. Нить обрывается в момент, когда она составляет с вертикалью угол α = 60^o. Найти скорость v_o, если известно, что при движении шарика без толчка нить обрывается в нижней точке траектории? [v_o = 3,8 м/с]

   169. Шарик массой m = 1 кг подвешивают на тонкой нити, отклоняют нить от вертикали на 90° и отпускают толчком, сообщая шарику некоторую начальную скорость. Нить обрывается, когда она составляет с вертикалью угол α = 30°. Если повторить опыт, подвесив шарик на сдвоенной нити такой же длины и сообщив ему тот же начальный толчок, нить обрывается в нижней точке траектории. Определить прочность нити. [T = 8,6 H]

   170. α-частица, имеющая скорость 1000 м/с, налетает на атом углерода, который двигался до соударения в том же направлении, но со скоростью, вдвое меньшей. С какой скоростью перемещается центр масс соударяющихся атомов? [v = 625 м/с]

   171. Бусинке массы m = 1 г сообщают скорость v_o = 10 м/с направленную вдоль горизонтальной спицы (см. рис.). По обе стороны от бусинки на ту же спицу надеты две гири массы M = 10 кг. Бусинка поочередно упруго отражается от них и приводит их в движение. Найти скорости гирь после того, как столкновения прекратятся, если трение при движении всех трех тел пренебрежимо мало. [u₁ = u₂ 6 см/с]

   172. Гладкий желоб состоит из горизонтальной части AB и дуги окружности BC с углом α = 45^o (см. рис.). Радиус окружности R = 1 м. Тело, имеющее скорость v = 10 м/с, скользит без трения по желобу. Определить величину и направление ускорения тела в точке C. [a = 80 м/с², β = 48^o]

   173. Конечный участок горы разгона на лыжном трамплине представляет собой часть окружности радиуса R = 15 м (см. рис.). Полная высота горы Н = 50 м. Найти величину полного ускорения прыгуна в точке C, если угол ВОС α = 30°. Считать, что лыжник спускается из точки A без начальной скорости; трением пренебречь. [a = 66 м/с²]

   174. Два тела с массами m и 3m движутся по взаимно перпендикулярным направлениям (см. рис.). После соударения тело массы m остановилось. Какую часть его энергии составляет выделившееся при ударе тепло? [Q/W = 2/3]

   175. Две частицы с массами M и 2M, имеющие импульсы p и p/2, движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. После соударения частицы обмениваются импульсами (см. рис.). Определить выделившееся при ударе тепло. [Q = 3p²/(16M)]

   176. Пуля массы m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 300 м/с, пробивает насквозь шар массы M = 100 г, лежащий на краю стола. Шар падает на пол на расстоянии S₁ = 5 м от края стола. На каком расстоянии от края стола упадет пуля? Высота стола Н = 1 м. [l = 85 м]

   177. Космический аппарат, имеющий форму конуса с высотой H = 10 см и углом при вершине α = 120°, движется со скоростью v = 10 км/с острием вперед в верхних слоях атмосферы. Определить энергию, передаваемую аппаратом молекулам воздуха в секунду. Концентрация молекул n = 10⁵ см⁻³; масса молекулы m = 4,5 × 10⁻²³ г; молекулы можно считать покоящимися, а столкновения их с аппаратом – абсолютно упругими. [W = 6 × 10⁻⁴ Дж]

   178. Какую работу надо затратить, чтобы втащить сани с грузом (обшей массой m = 30 кг) на горку высотой H = 10 м. Угол наклона горки α = 30°, а коэффициент трения между санями и горкой линейно убывает вдоль пути от μ₁ = 0,5 у подножия до μ₂ = 0,1 у вершины. [A = mgH(1 + (μ₁ + μ₂)/(2tgα)) ≈ 4,5 Дж]

   179. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножия горы, если ее высота H = 15 м, угол наклона α = 30°, а коэффициент трения линейно нарастает вдоль пути от μ₁ = 0 у вершины до μ₂ = 0,4 у подножия? [v = 14 м/с]

   180. Выезд с горки на горизонтальную плоскость представляет собой дугу окружности радиуса R = 4 м (рис.). Поверхность горки гладкая, а горизонтальная поверхность – шероховатая с коэффициентом трения μ = 0,2. Санки, съехав с горки остановились на расстоянии l = 30 м от ее конца. На какой высоте h человек в санках испытал двукратную перегрузку? [h = (2/3)(μl − R) = 4/3 м]

   181. Тело без начальной скорости соскальзывает в яму, стенки которой гладкие и плавно переходят в горизонтальное дно (рис.). Длина дна l = 2 м, коэффициент трения тела о дно ямы μ = 0,3. Глубина ямы H = 5 м. На каком расстоянии от середины ямы тело остановится? [x = 8,5l − H/k = 1/3 м]

   182. Три одинаковых гладких биллиардных шара радиусом R расположены на гладкой горизонтальной плоскости, как показано на рисунке. Шару 1 сообщается скорость v_o он ударяется сначала о шар 2, затем о шар 3 и останавливается. Определите расстояние r между центрами шаров 1 и 3 и скорости, которые приобретут после удара шары 2 и 3. Соударения абсолютно упругие. [r = 4R, v₂ = v_ocos30^o, v₃ = v_osin30^o]

   183. Тело массы М налетает на две последовательно соединенные пружины жесткости k₁ и k₂ (рис.). Максимальная энергия деформации пружины 2 оказалась равной Е. Определите начальную скорость теле v. [v = √{2E(k₁ + k₂)/(Mk₁)}]

   184. Под каким углом к горизонту надо бросить камень, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъема составляла 25 % от его кинетической энергии в точке бросания? [α = arccos{0,25} = 60^o]

   185. Вблизи дороги образовалась ледяная горка с выездом на проезжую часть. Поверхность горки составляет угол α с горизонтальной плоскостью. Проезжающей мимо дорожной машине удалось до половины высоты посыпать горку снизу песком. Коэффициент трения скольжения полозьев санок о лед с песком μ = 0,5. Пренебрегая трением санок о лед без песка, найдите максимальное значение угла α, при котором санки не смогут достичь основания горки, съехав с ее вершины без начальной скорости. [α_max = arctg(μ/2) ≈ 14^o]

   186. α-частица, пролетая мимо первоначально покоившегося ядра химического элемента с массовым числом, равным 12, потеряла 20 % своей скорости. На какой угол β отклонилась и частица (рис.)? [β = arccos(7/20) ≈ 69^o]

   187. Троллейбус массой m = 12 × 10³ кг на некотором горизонтальном прямолинейном участке увеличил скорость с v₁ = 5 м/с до v₂ = 10 м/с. Двигатель троллейбуса развивал постоянную мощность N = 60 кВт. Пренебрегая сопротивлением движению, найдите максимальное и минимальное значения ускорения троллейбуса на этом участке. [1 м/с², 0,5 м/с²]

   188. Деформация вертикальной легкой пружины, удерживающей гирю, составляет x = 4 см (рис.). Чтобы увеличить деформацию пружины на 50 %, медленно надавливая на груз в вертикальном направлении, надо совершить работу A = 0,3 Дж. Найдите жесткость пружины. [k = 8A/x² = 1500 Н/м]

   189. Сани с седоком и собакой общей массой М съезжают с постоянной скоростью v_o с горы (рис.), имеющей уклон α (cosα = 6/7). Собака массой m спрыгивает с саней по ходу их движения и приземляется со скоростью, равной v и направленной под углом β (cosβ = 3/7) к горизонту. Сани после этого продолжают двигаться по горе вниз. Найдите скорость саней с седоком после прыжка собаки. [u = (2Mv_o − mv)/(2(M − m))]

   190. После разрыва неподвижного снаряда образовалось четыре осколка. Осколок массой m₁ = 4 кг полетел вертикально вниз со скоростью v₁ = 150 м/с, массой m₂ = 3 кг – горизонтально на юг со скоростью v₂ = 100 м/с, массой m₃ = 1 кг – горизонтально на восток. Осколок массой m₄ = 3,5 кг полетел со скоростью v₄ = 200 м/с. Найдите скорость третьего осколка. [200 м/с]

   191. Два груза массой m каждый связаны нитью (рис.). Между грузами вставлена легкая упругая пружина, сжатая на величину x. Система движется со скоростью v вдоль прямой, перпендикулярной ее оси. В некоторый момент нить пережигают, и грузы разлетаются под углом 90^o. Найдите коэффициент упругости пружины. [k = 2mv²/x²]

   192. Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола со скоростью v_o. сталкивается с неподвижным бруском вдвое большей массы. На какое расстояние разъедутся бруски после столкновения? Удар упругий, центральный. Коэффициенты трения брусков о стол одинаковы и равны μ. [l = 5v_o²/(18μg)]

   193. По доске, наклоненной к горизонту под углом α = arcsin(l/3) можно передвигать вверх или вниз грузы, прикладывая силу вдоль доски. Чтобы передвинуть ящик массой m = 30 кг вниз на расстояние L = 3 м, надо совершить минимальную работу A = 100 Дж. Какую минимальную работу потребуется совершить, чтобы вернуть по доске этот ящик назад? [A₁ = A + 2mgLsinα = 690 Дж]

   194. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью u = 1 м/с и небольшой шарик со скоростью v = 2 м/с. В некоторый момент времени шарик оказался в точке A на расстоянии s = 1,5 м от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова окажется в точке A? Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса шарика намного меньше массы бруска. [0,75 c]

   195. С верхней точки шара радиусом R = 54 см. закрепленного на горизонтальной поверхности стола, соскальзывает без начальной скорости и без трения небольшой шарик. На какую максимальную высоту от стола поднимется шарик после упругого удара о стол? [H = (50/27)R]

   196. По горизонтальной поверхности стола скользит брусок массой m и сталкивается неупруго с неподвижным бруском массой 2m, имея перед ударом скорость v = 2 м/с. Какое расстояние пройдут слипшиеся бруски до остановки? Коэффициент трения скольжения между брусками и столом μ = 1/18. [l = 41 см]

   197. Кусок пластилина массой m = 32 г попадает в брусок массой 6m, двигавшийся по гладкой горизонтальной поверхности стола, и прилипает к нему (рис.). Перед ударом скорость куска пластилина равна v = 7 м/с и направлена под углом α = 60° к горизонту, а скорость бруска равна v/4 и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина.
   1) Определите скорость бруска с пластилином после удара.
   2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска, пластилина и окружающих тел? [v₁ = (2/7)v = 2 м/с, ΔW = 45mv²/112 = 0,63 Дж]

   198. На столе лежит брусок. На легкой нити длиной L висит шарик, касаясь бруска (см. рис.). Нить вертикальна. Масса бруска в 7 раз больше массы шарика. Шарик отклоняют в сторону так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. После неупругого удара о брусок шарик останавливается, а брусок смещается по горизонтальной поверхности стола на расстояние S.
   1) Найти скорость бруска сразу после удара.
   2) Найти коэффициент трения скольжения между бруском и столом. [v = √{2gL}/7, μ = L/(49gS)]

   199. На горизонтальной поверхности стола покоится ящик. Пуля массой в 50 раз меньше массы ящика летит горизонтально со скоростью v_o, пробивает ящик и продолжает лететь в прежнем направлении со скоростью вдвое меньше. Коэффициент трения скольжения между ящиком и столом μ,
   1) Какую скорость приобретает ящик сразу после вылета из него пули?
   2) Найти время движения ящика по столу. [v = v_o/100, t = v_o/(100μg)]

   200. На легкой нити длиной L висит шар. Пуля летит горизонтально со скоростью v_o, пробивает шар и продолжает лететь в прежнем направлении. В результате максимальный угол отклонения шара на нити оказался α = 60°. Масса шара в 10 раз больше массы пули.
   1) Найти скорость шара сразу после вылета из него пули.
   2) Найти скорость вылетевшей из шара пули. [V_ш = √{gL}, V_n = V_o − 10√{gL}]

   201. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых H и 3H. На левой вершине горки находится шайба массой m (см. рис.). Масса горки 5m, ее поверхность гладкая. От незначительного толчка вправо шайба приходит в движение. Найти скорость шайбы на правой вершине, если:    1) горка закреплена на столе,
   2) горка не закреплена.
   Считать, что при движении шайба не отрывается от поверхности горки, а поступательно движущаяся горка − от стола. [v₁ = 2√{gH}, v₂ = √{10gH/3}]

   202. Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Нижний конец трубки горизонтален и находится на расстоянии h от стола. Шарик массой m, который может скользить по трубке без трения, удерживается на высоте H от стола. Масса платформы с трубкой 3m. Вначале система покоилась. Шарик отпустили. Найти скорость вылетевшего из трубки шарика, если:
   1) платформа закреплена на столе;
   2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется поступательно. [v₁ = √{2g(H − h)}, v₂ = √{3g(H − h)/2}]

   203. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся две горки с гладкой поверхностью, плавно переходящей в поверхность стола (см. рис.). Горка A закреплена на столе, и на ней на высоте H удерживают шайбу массой m. Масса горки B равна 6m. Шайбу отпускают. Найти максимальную высоту (считая от стола) подъема шайбы по горке B, если: 1) горка B закреплена на столе; 2) горка B не закреплена. [h = H, h₂ = (6/7)H]

   204. Трубка в виде петли жестко укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Правый конец трубки горизонтален, его расстояние до стола h. В трубке на высоте H удерживается шарик массой m, который может скользить по трубке без трения (см. рис.). Масса платформы с трубкой 4m. Система покоится. Шарик отпускают. Найти скорость вылетевшего из трубки шарика, если:
   1) платформа закреплена на столе;
   2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется поступательно. [v₁ = √{2g(H − h)}, v₂ = √{8g(H − h)/5}]

   205. Цепочку длиной l = 20 см удерживают в покое на клине так, что на наклоненной под углом α (sinα = 3/5) к горизонту поверхности клина лежит 2/3 цепочки, а 1/3 висит (см. рис.). Трение цепочки о клин и направляющий желоб P пренебрежимо мало. Цепочку отпускают, и она «заползает» на клин, оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти ускорение цепочки в начальный момент движения. 2) Найти скорость цепочки в момент, когда она полностью окажется на клине. [a = g/15, v = (1/3)√{(5sinα − 1)gl} ≈ 0,66 м/с]

   206. Однородный гибкий канат длиной L = 1 м и массой m = 1 кг удерживают в покое за верхний конец так, что 1/3 каната находится на столе, а 2/3 свисает (см. рис.). В некоторый момент канат перестают удерживать и начинают втаскивать на стол, прикладывая силу F = 8 Н вдоль горизонтальной поверхности стола перпендикулярно кромке стола. Трением каната о стол и направляющий желоб P пренебречь. 1) Найти ускорение каната в начальный момент его движения. 2) Найти скорость каната в момент, когда он полностью окажется на столе. [a = F/m − (2/3)g ≈ 1,5 м/с², v = √{(4/3)L(F/m − g/3)} ≈ 2,5 м/с]

   207. На доске, наклоненной под углом α = 30° к горизонту, удерживают в покое однородную гибкую веревку длиной l = 40 см так, что на доске лежит 4/7 длины веревки, а 3/7 висит вертикально (см. рис.). Трение веревки о доску и направляющий желоб P пренебрежимо мало. Веревку отпускают, и она движется, оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти ускорение веревки в начальный момент движения. 2) Найти скорость веревки в момент, когда она соскользнет с доски и примет вертикальное положение. [a = g/7 = 1,4 м/с², v = 1,6 м/с]

   208. Однородный гибкий канат массой m и длиной L = 75 см прикреплен к бруску массой 2m, находящемуся на горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Со стола свешивается половина длины каната. Коэффициент трения скольжения бруска о стол μ = 0,15. Трением каната о стол и направляющий желоб P пренебречь. Брусок удерживают в покое, а затем отпускают. 1) Найти ускорение бруска в начале движения. 2) Найти скорость бруска в момент, когда канат соскользнет со стола. [a = (g/6)(1 − 4μ) = g/15 = 0,65 м/с², v = √{(3 − 8μ)gL/12} ≈ 1 м/с]

   209. На тележке, которая может двигаться по горизонтальным рельсам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной плоскости трубка в форме кольца (см. рис. – вид сверху). Внутри трубки может двигаться без трения шарик массой m. Масса тележки с трубкой М, массой колес тележки пренебречь. Шарику, при неподвижной тележке, сообщают в точке A скорость v, направленную параллельно рельсам.
   1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки B тележки, диаметрально противоположной точке А.
   2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется тележка через время t_o, когда шарик совершит несколько оборотов и окажется в точке B тележки? [V_ц.м = mv_o/(m + M); S = mv_ot_o/(m + M)]

   210. Тележка может двигаться прямолинейно поступательно без трения по горизонтальной поверхности стола. К тележке прикреплена горизонтальная ось О, перпендикулярная возможному направлению движения тележки (см. рис.). Вокруг оси О, в плоскости, перпендикулярной ей, может вращаться без трения на стержне длиной L небольшой по размерам шарик массой m. Масса тележки, оси О и ее крепления – 4m. Массами стержня и колес тележки пренебречь. Вначале тележка покоилась, а стержень удерживался под углом β = 30° к вертикали. Затем стержень отпустили.
   1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней точки своей траектории.
   2) Найти амплитуду колебаний тележки, т. е. половину расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями тележки. [v = (1/2)√{(gL/5)(2 + √3)}, A = Lm/(4m + m) = L/5]

   211. Брусок может двигаться поступательно без трения по прямолинейным горизонтальным салазкам, не отрываясь от них. На бруске укреплен в вертикальной плоскости, параллельной салазкам, желоб радиусом R, по которому может скользить без трения небольшой по размерам шарик массой m (см. рис.). Масса бруска с желобом 6m. Вначале брусок покоился. Шарику в верхней точки желоба сообщили горизонтальную скорость v_o.
   1) Найти скорость бруска при прохождении шариком нижней точки желоба.
   2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется брусок через время t_o, когда шарик совершит несколько оборотов и окажется в нижней точке желоба? [v = (3v_o + √{9v_o² + 42gR})/21, L = v_ot_o/7]

 212. Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль горизонтальной направляющей ЕЕ₁ (см. рис.). К муфте перпендикулярно ЕЕ_y прикреплена горизонтальная ось О, вокруг которой может вращаться без трения обруч радиусом R с закрепленным на нем небольшим по размерам грузом массой m. Масса муфты, оси О и ее крепления 3m. Массой обруча пренебречь. Вначале муфта неподвижна и обруч удерживают в положении, когда ОР составляет угол α = 30° с горизонтом. Затем обруч отпускают.
 1) Найти скорость муфты при прохождении грузом нижней точки своей траектории.
 2) Найти амплитуду колебаний муфты, т. е. половину расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями муфты. [v₂ = √{gR(1 + sinα)/6} = (1/2)√{gR}, A = R/4]

   213. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона α к горизонту в точке O прикреплена нить длиной l. К другому концу нити привязан небольшой шарик (см. рис.). В начальный момент шарик находится в положении равновесия в точке A, Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в точке A вдоль наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности? [v = √{5glsinα}]

   214. Обруч в форме окружности закреплен на столе в положении, когда его плоскость наклонена под углом α к горизонтальной поверхности стола (см. рис.). По обручу может скользить без трения небольшое колечко массой m. Вначале колечко удерживают в верхней точке C обруча. В результате незначительного толчка колечко приходит в движение. Найти модуль силы, с которой колечко действует на обруч в точке A, находящейся на горизонтальном диаметре обруча. [F = mg√{1 + 3sin²α}]

   215. Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной l к гвоздю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью, наклоненной под углом α к горизонту (см. рис.). Вначале шарик удерживают на доске в точке А, слабо натянув нить горизонтально вдоль доски. Какую минимальную скорость v надо сообщить шарику в точке A вдоль доски перпендикулярно нити, чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности? [V = √{3glsinα}]

   216. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α (см. рис.). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии 2R от горизонтального диаметра петли, опускают без начальной скорости маленький шарик массой m. Шарик скользит внутри трубки без трения. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку в точке A, находящейся на горизонтальном диаметре петли? [F = mg√{15sin²α + 1}]

   217. Монета скользит по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α. и в точке C имеет скорость v_o (рис.). Через некоторое время монета оказалась в точке D наклонной плоскости, пройдя путь s и поднявшись по вертикали на высоту Н. Коэффициент трения скольжения между монетой и наклонной плоскостью μ. Найдите скорость монеты в точке D. [v = √{v_o² − 2g(H + μscosα)}]

   218. Два шара насажены на прямолинейную горизонтальную спицу и могут скользить по ней без трения (рис.). К шару массой m прикреплена легкая пружина жесткостью k, и он покоится. Шар массой 2m движется со скоростью v. Радиусы шаров много меньше длины пружины. 1) Определите скорость шара массой 2m после отрыва от пружины. 2) Определите время контакта шара массой 2m с пружиной. [v₁ = v/3, τ = π√{2m/(3k)}]

   219. На горизонтальной поверхности стола покоится чаша с небольшой по сравнению с размерами чаши шайбой массой m (рис.). Нижняя часть АВ внутренней поверхности чаши есть часть сферы радиусом R. Глубина чаши H = 3R/ 5, ее внутренняя поверхность гладкая. Шайба начинает скользить без начальной скорости и при движении не отрывается от чаши, а чаша остается в покое. Шайба достигает точки C, для которой угол между радиусом ОС и вертикалью равен ее (cosα = 4/5). 1) Найдите скорость шайбы в точке С. 2) Найдите силу трения между чашей и столом при прохождении шайбой точки С. [v = 2√{gR/5}, F_mp = (24/25)mg]

   220. Шайба массой m скользит со скоростью v_o по гладкой горизонтальной поверхности стола, попадает на покоящийся клин массой 2m, скользит по нему без трения и отрыва и покидает клин (рис.). Клин, не отрывавшийся от стола, приобретает скорость v_o/4 . Найдите угол α наклона к горизонту поверхности верхней части клина. Нижняя часть клина имеет плавный переход к поверхности стола. Изменением потенциальной энергии шайбы в поле тяжести при ее движении по клину пренебречь. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка. [cosα = 1/√11]

   221. По горизонтальной поверхности стола протягивают с постоянной скоростью v тонкую ленту шириной d (рис.). На ленту въезжает скользящая по столу монета, имея скорость 4v/3, направленную перпендикулярно краю ленты. Монета скользит по ленте и покидает ее со скоростью v под неравным нулю углом к краю ленты.
   1) Найдите скорость монеты относительно ленты в начале движения по ленте.
   2) Найдите коэффициент трения скольжения между монетой и лентой. [v_om = (5/4)v, μ = (602/1125)v²/(gd)]

   222. Два мальчика бегут к неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности. Мальчик массой m запрыгивает на тележку. Второй мальчик массой 1,2m нагоняет уже движущуюся тележку и тоже запрыгивает на неё. Скорость тележки увеличивается на 80 %. Найдите массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей мальчиков относительно поверхности Земли перед попаданием на тележку одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [M = 4,4m]

   223. На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности, сидят кошка массой m и собака массой 4m. Кошка спрыгивает с тележки. Затем с уже движущейся тележки по направлению к кошке спрыгивает собака, и скорость тележки возрастает в 7 раз. Найдите массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей кошки и собаки относительно поверхности Земли перед приземлением одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [M = 10m]

   224. К неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности, бегут мальчик массой m и девочка массой 0,8m. Мальчик запрыгивает на тележку. Девочка нагоняет уже движущуюся тележку и тоже запрыгивает на неё. Скорость тележки увеличивается на 60 %. Во сколько раз масса тележки больше суммарной массы мальчика и девочки? Горизонтальные составляющие скоростей мальчика и девочки относительно поверхности Земли перед попаданием на тележку одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [3]

   225. На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности, сидят собака массой m и щенок массой 0,2m. Собака спрыгивает с тележки. Затем с уже движущейся тележки по направлению к собаке спрыгивает щенок, и скорость тележки возрастает на 30 %. Во сколько раз масса тележки больше суммарной массы собаки и щенка? Горизонтальные составляющие скоростей собаки и щенка относительно поверхности Земли перед приземлением одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [2]

   226. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами 4m и 5m. На вершине горки массой 4m на высоте h лежит монета массой m. От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки.
   1) Найдите скорость монеты на столе.
   2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой 5m?
   Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [v = gh√{8/5}, x = (2/3)h]

   227. Горка массой 5m с покоящейся на её вершине шайбой массой m скользит со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности стола в направлении покоящейся незакреплённой горки массой 7m. От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка останавливается, а шайба движется по столу в направлении горки массой 7m.
   1) Найдите высоту горки массой 5m.
   2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на горке массой 7m?
   Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [h = 15v²/g, x = (63/4)v²/g]

   228. Ha гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами 3m и 6m. На вершине горки массой 3m на высоте h лежит монета массой m. От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки.
   1) Найдите скорость монеты на столе.
   2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой 6m?
   Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки − от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [v = √{3gh/2}, x = 9h/14]

   229. Горка массой 7m с покоящейся на её вершине шайбой массой m скользит со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности стола в направлении покоящейся незакреплённой горки массой 11m. От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка останавливается, а шайба движется по столу в направлении горки массой 11m.
   1) Найдите высоту горки массой 7m.
   2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на горке массой 11m?
   Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки − от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости. [h = 28v²/g, x = (88/3)v²/g]

   230. Шарик, движущийся со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик остановился, а кубик стал двигаться поступательно со скоростью v/3. Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту? [Q = (2/3)E_o]

   231. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности брусок. В результате неупругого удара шарик остановился и 60 % его первоначальной кинетической энергии перешли в теплоту, а брусок стал двигаться поступательно. Какова скорость бруска после удара? [u = 0,4v]

   232. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. В результате неупругого удара шарик остановился, а кубик начал двигаться поступательно со скоростью v. При этом 75 % первоначальной кинетической энергии шарика перешли в теплоту. Какова была скорость шарика до удара? [v_o = 4v]

   233. Шарик массой m, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности брусок. В результате неупругого удара шарик останавливается и 80 % его первоначальной кинетической энергии переходит в теплоту, а брусок движется поступательно. Какова масса бруска? [M = 5m]