Статика и гидростатика. МФТИ
   114. Манометр состоит из трех стеклянных трубок (рис.). В нижней части манометра находится ртуть, а в левом колене над ртутью – масло. Насколько изменилось давление p, контролируемое манометром, если уровень масла в тонкой открытой трубке поднялся на Δh = 10 мм? Отношение плотностей ртути и масла ρ₁/ρ₂ = 14, а отношение сечений трубок S₃/S₂ = 2, S₂/S₁ = 50. [1 мм.рт.ст.]

   115. Два вертикальных цилиндрических сообщающихся сосуда заполнены водой и закрыты поршнями массы M₁ = 2 кг и M₂ = 3 кг (рис.). Когда на первый поршень поместили гирю массы m = 1 кг, то в положении равновесия он установился на h = 10 см ниже второго поршня. Когда эту гирю переставили на второй поршень, то он оказался на 10 см ниже первого. Как расположатся поршни в отсутствие гири? [первый поршень расположится на 5/3 см выше второго]

   116. Палочка массы m одним концом упирается в угол между стеной и полом. В стене на высоте, равной длине палочки, просверлено гладкое отверстие, через которое проходит нить, привязанная к верхнему концу палочки. Другой конец нити перекинут через блок и на нем висит некоторый груз (рис.). Какова должна быть величина груза, чтобы палочка из любого начального положения всегда прижималась к стене. [m_гр = m/√2]

   117. Штанга массы m и длиной l закреплена нижним концом на шарнире (рис.). К верхнему концу штанги привязана нить, перекинутая через блок, укрепленный на высоте h от шарнира и на одной с ним вертикали. Какой минимальный груз нужно подвесить на другой конец нити, чтобы штанга устойчиво стояла в вертикальном положении? [m_min = m(H − l)/(2H)]

   118. Пружина скрепляет два груза, массы которых m и М (рис.). Когда система подвешена за верхний груз (положение а), длина пружины равна l₁. Если систему поставить на подставку (положение б), длина пружины равна l_o. Определить длину ненапряженной пружины l_o. [l_o = (ml₁ + Ml₂)/(m + M)]

   119. На высоте h = 2 м над широким сосудом открывают на t_o = 2 с кран, из которого вниз бьет струя воды с расходом q = 200 г/с. Площадь отверстия крана S = 1 см². Найти изменение силы давления сосуда на подставку и нарисовать график этой силы как функцию времени. Вода из сосуда не вытекает. [ΔF = 5,2 H]

   120. Однородная палочка, концы которой могут скользить без трения по горизонтальной плоскости и вертикальной стенке двугранного угла, удерживается в положении равновесия натяжением нити, закрепленной в вершине угла и наклоненной к горизонтальной плоскости под углом β. Палочка наклонена к горизонтальной плоскости под углом α. Найти натяжение нити T, если вес палочки равен P. [T = Pcosα/(2sin(α − β))]

   121. Лестница длиной L = 3 м стоит упираясь верхним закругленным концом в гладкую стену, а нижним – в пол. Угол наклона лестницы α = 60^o, ее масса m = 15 кг. На лестнице на расстоянии a = 1 м от ее верхнего конца стоит человек весом P = 600 H. Определить, с какой силой давит на пол нижний конец лестницы, и как направлена эта сила. [F = 600 H, β = 20^o]

   122. Над широким сосудом, уравновешенным на весах, на время t = 5 c открывают кран, расположенный на высоте H = 0,5 м над сосудом. Весы показали максимальное увеличение веса сосуда на P₁ = 1,65 Н, а после того, как кран закрыли и все успокоилось, на P₂ = l,5 Н. Определите, с какой скоростью вода вытекала из крана. [v_o = 3,7 м/с]

   123. Два сообщающихся сосуда заполнены до высоты h жидкостью с плотностью ρ. Правый сосуд имеет постоянное сечение S, а левый сосуд до уровня h имеет сечение 2S, а выше этого уровня – S (см. рис.). Температура жидкости в правом сосуде поддерживается неизменной. В левом сосуде температуру повысили на величину τ. Определить новый уровень жидкости в правом сосуде. Коэффициент объемного расширения жидкости b. Расширением сосудов и объемом соединительной трубки пренебречь. Поверхностное натяжение не учитывать. [h_x = h(1 + βτ/3)]

   124. Два сообщающихся сосуда заполнены до высоты h жидкостью с плотностью ρ. Правый сосуд имеет постоянное сечение S, левый сосуд до уровня h имеет сечение S/2, а выше этого уровня – S (см. рис.). Температура жидкости в правом сосуде поддерживается неизменной. В левом сосуде температуру повысили на величину τ. Определить новый уровень жидкости в правом сосуде. Коэффициент объемного расширения жидкости β. Расширением сосудов и объемом соединительной трубки пренебречь. Поверхностное натяжение не учитывать. [h_x = h(1 − βτ/4)]

   125. Брусок массы m, размеры которого показаны на рисунке, стоит на наклонной плоскости с углом наклона α. На брусок начинает действовать сила F, параллельная наклонной плоскости. При каком значении этой силы брусок опрокинется? Известно, что соскальзывать с наклонной плоскости брусок при этом не будет. [F = (mg/2)((a/b)cosα − sinα)]

   126. Два сосуда одинакового сечения соединены тонкой трубкой с краном. Места присоединения трубки к сосудам показаны на рис. h₁ = 0,2Н, h₂ = 0,05H. Первоначально левый сосуд заполнен водой (ρ₁ = 1 г/см³), а правый – маслом (ρ₂ = 0,8 г/см³) до одинаковой высоты H. Какими станут уровни поверхностен в сосудах после открытия крана? [x = 0,1 H]

   127. В цилиндрический сосуд с площадью сечения S₁ = 200 см² и высотой h₁ = 30 см налит объем воды V. В сосуд опускают стержень сечения S₂ = 100 см², высота которого равна высоте сосуда. Какой минимальный вес должен иметь стержень, чтобы он опустился до дна сосуда? [P = 30 H]

   128. В цилиндрический сосуд с площадью сечения S₁ = 100 см² и высотой h = 20 см налит объем V = 1 л воды. В сосуд опускают стержень сечением S₂ = 40 см², высота которого равна высоте сосуда. Какой минимальный вес должен иметь стержень, чтобы он опустился на дно сосуда? [P ≥ 6,54 H]

   129. Под каким углом легче всего тянуть веревку, волоча тяжелый груз по горизонтальной доске? Если доску наклонять, груз сам начнет с нее соскальзывать при угле наклона φ. (рис.). [α = φ]

   130. Два сосуда одинакового сечения соединены тонкой трубкой с краном. Места присоединения трубки к сосудам показаны на рис.: h₁ = 0,05 Н, h₂ = 0,05 H. Первоначально левый сосуд заполнен водой (r₁ = 1 г/см³), а правым – маслом высоты H. Какими станут уровни поверхностей в сосудах после открытия крана? [H₁ = 0,95H, H₂ = 1,05H]

   131. Прямоугольный брусок, размеры которого показаны на рис., тянут равномерно по горизонтальной плоскости за веревку, угол наклона которой α можно менять. Коэффициент трения бруска о плоскость μ. При какой величине угла α брусок начнет приподниматься? [tgα = a/b + 1/μ]

   132. Шар висит на нити, опираясь о стенку, как показано на рисунке. Центр шара C лежит на одной вертикали с точкой подвеса O, нить образует с вертикалью угол α, а радиус, проведенный в точку крепления нити A, – угол β. При каких значениях коэффициента трения шара о стенку такое равновесие возможно? Считать, что α + β = π/2. [μ ≥ 1/sinα > 1]

   133. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду (рис.), пока уровень воды в сосуде не изменится на Δh = 8 см. Показание динамометра при этом изменилось на ΔF = 0,5 H. Определите сечение сосуда. [S = 6,25 см²] [решение]

   134. Плотность раствора соли с глубиной h меняется по закону ρ = ρ_o + Ah, где ρ_o = 1 г/см³, А = 0,01 г/см³. В раствор опушены два шарика, связанные нитью длиной l = 5 см. Объем каждого шарика V = 1 см³, а массы m₁ = 1,2 г, m₂ = 1,4 г. На какой глубине каждый шарик будет находиться в равновесии, если известно, что нить натянута? [h₁ = (m₁ + m₂)/(2AV) − ρ_o/A − l/2 ≈ 27,5 см, h₂ = h₁ + l ≈ 32,5 см]

   135. Во время профилактического ремонта дно лодки-плоскодонки оклеили слоем пластика толщиной d = 3 см. После этого высота надводной части лодки уменьшилась на величину h = 1,8 см. Определите плотность пластика ρ. [ρ = 600 кг/м³]

   136. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами (рис.). Оказалось, что центр масс C такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры имеют одинаковые площади сечения, но изготовлены из различных материалов с плотностями ρ и 2ρ. Определите отношение масс цилиндров. [m₂/m₁ = √2]

   137. Детская игрушка-неваляшка (ванька-встанька) представляет собой фигуру высотой h = 21 см и массой M = 300 г с симметричным распределением массы относительно оси KD, причем поверхность нижней части неваляшки есть часть сферы радиусом R = 6 см (рис.). Если неваляшку поставить на шероховатую плоскую поверхность, наклоненную под углом α = 30° к горизонту, то неваляшка занимает устойчивое положение равновесия, при котором ее ось KD отклоняется от вертикали на угол β = 45°. Какую наименьшую массу пластилина надо прикрепить к макушке неваляшки в точке K, чтобы она потеряла устойчивость на горизонтальной поверхности стола? [m = 85 г]

   138. Подводная опора, забитая в глинистый грунт водоема глубиной h = 3 м, представляет из себя два соосных цилиндра различных диаметров (рис.). Найдите силу, действующую на опору со стороны воды в водоеме, если площадь сечения цилиндра меньшего диаметра, забитого в грунт, S = 1 м², объем части опоры ABC, находящейся в воде, V = 4 м³ плотность воды ρ = 1 г/см³. [|F| = 9 × 10⁴ H]

   139. Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Открытое и запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление p_o, плотность воды ρ. [p₁ = p_o + ρgH, p₂ = p_o = ρg(H − h) + ρω²L²/2]
   1) Найдите давление воды в месте изгиба трубки, расположенном на оси вращения.
   2) Найдите давление воды у запаянного конца трубки.

   140. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны) опусти ли кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на h₁ = 11 мм, а лед стал плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стекла ρ_c = 2,0 г/см³, воды ρ_в = 1 г/см³, льда ρ_л = 0,9 г/см³. [1 мм]

   141. В лунку размером 10 × 10 × 10 см³, целиком заполненную водой, опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна). В результате часть воды из лунки выливается, а тело начинает плавать в ней (см. рис.). После этого из лунки отлили еще m = 250 г воды, так, что цилиндр стал плавать, касаясь дна лунки.
   1) Какая масса воды M осталась в лунке?
   2) Чему равна плотность r материала цилиндра?
   Диаметр цилиндра d немного меньше 10 см, высота цилиндра равна его диаметру. [M = 160 г, ρ = 750 кг/м³]

   142. В лунке размером 10 × 10 × 10 см³, полностью заполненной водой, лежит шарик (см. рис.), плотность материала которого ρ = 2 г/см³. Диаметр шарика d немного меньше 10 см. Какую минимальную по величине работу A надо совершить, чтобы вытащить шарик из воды? [A = 0,37 Дж]

   143 На дне лунки размером 10 × 10 × 10 см³> лежит шар, диаметр которого d немного меньше 10 см. В лунку наливают воду до тех пор, пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку пришлось долить еще m = 250 г воды, чтобы она оказалась заполненной водой до верха (см. рис.). [M = 268 г, 0,84 г/см³]
   1) Какую массу воды M налили в лунку вначале?
   2) Чему равна плотность материала шара? Указание. Объем шарового сегмента высотой h равен ΔV = (1/3)πh²(3d/2 − h), где d – диаметр шара.

   144. В лунке размером 10 × 10 × 10 см³, целиком заполненной водой, лежит на дне металлический цилиндр (см. рис.). Диаметр цилиндра d немного меньше 10 см. Высота цилиндра равна его диаметру. Для того, чтобы вытащить цилиндр из воды, необходимо совершить работу не меньше величины A = 185 Дж. Чему равна плотность ρ материала цилиндра? [ρ = 2,5 × 10³ кг/м³]

   145. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен водой (см. рис.) После того, как «тройник» стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка влево) с некоторым постоянным ускорением, из него вылилось 1/16 массы всей воды. Чему при этом равно давление в жидкости у закрытого конца (точка О) горизонтальной трубки? Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину l. [p_o = p_a + (1/2)ρgl]

   146. «Тройник» из трех вертикальных открытых в атмосферу трубок полностью заполнен водой (см. рис.). После того, как «тройник» стали двигать в горизонтальном направлении (в плоскости рисунка) с некоторым ускорением a, из него вылилось 9/32 всей массы содержавшейся в нем воды. Чему равна величина ускорения a? Внутреннее сечение трубок одинаково, длины трубок равны l. [a = (3/4)g]

   147. «Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен водой (см. рис.). После того как «тройник» стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка направо) с некоторым ускорением, из «тройника» вылилось 1/8 массы всей содержавшейся в нем воды. Чему при этом равно давление p в жидкости у закрытого конца (точка O) горизонтальной трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна L. [p_o = p_a + (3/2)ρgl]

   148. «Тройник», с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой целиком заполнен водой (см. рис.). Когда «тройник» стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением (в плоскости рисунка), то из него вылилось 1/8 всей массы содержавшейся в нем воды. Чему равно давление в жидкости в нижней части (точка О) закрытой трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна L. [p_o = p_a + (7/4)ρgl]

   149. В цилиндрическом стакане с водой на нити висит проволока, вмороженная в кусок льда. Лед с проволокой целиком погружен в воду и не касается стенок и дна стакана. После того как лед растаял, проволока осталась висеть на нити целиком погруженная в воду. Уровень воды в стакане за время таяния льда уменьшился на ΔН (ΔH > 0), а сила натяжения нити увеличилась в k раз. Найдите объем проволоки. Плотность воды ρ_в, плотность проволоки ρ, площадь внутреннего сечения стакана S. [V = kSΔHρ_в/((k − 1)(ρ − ρ_o))]

   150. На чашке пружинных весов уравновесили сосуд, в котором находится вода массой m_в. Для приготовления соленого раствора была использована крупная соль, содержащая нерастворимые в воде примеси. Соль с примесями в марлевом мешочке была опущена на нити в сосуд так, что мешочек оказался полностью погруженным в воду. После того как соль полностью растворилась в воде, показания весов изменились на ΔP (ΔP > 0) по сравнению с их показаниями до опускания соли в воду. Плотность соленого раствора была измерена и оказалась равной ρ. Найдите объем V_n примесей в мешочке после растворения соли, если он остался висеть на нити целиком погруженным в раствор. Плотность чистой соли ρ_c, воды ρ_в, ускорение свободного падения g. Указание: считать раствор однородным с плотностью ρ = (m_c + m_в)/(V_c + V_в), где m_в и m_с – массы воды и соли, а V_в и V_с – их объемы. [V_n = Δp/(ρg) − (m_в/ρ) × (ρ_c/ρ_в) × (ρ − ρ_в)/(ρ_c − ρ)]

   151. Стеклянный шар объемом V и плотностью ρ_o находится в сосуде с водой (рис.). Угол между стенкой сосуда и горизонтальным дном α. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность воды ρ. Найдите силу давления шара на дно в двух случаях: 1) сосуд неподвижен; 2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением a. [F = (ρ_o − ρ)Vg, F = (ρ_o − ρ)V(g + arctgα)]

   152. В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски так, что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на Δh = 1 см. Затем на доску сверху положили пластину из льда. В результате доска погрузилась в воду полностью, а пластина льда – на α = 7/10 своего объема. На сколько изменится объем воды в ведре, когда лед полностью растает? Плотность воды ρ_в = 1 г/см³, льда ρ_л = 0,9 г/см³, дерева ρ = 0,6 г/см³. Площадь внутреннего сечения ведра S = 300 см². [ΔV_в = 900 см³]

   153. Кусок льда привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с водой (рис.). Над поверхностью воды находится некоторый объем льда. Нить натянута с силой T = 1 Н. На сколько и как изменится уровень воды в сосуде, если лед растает? Площадь дна сосуда S = 400 см², плотность воды ρ = 1 г/см³. [Δh = T/(ρgS) = 2,5 мм]

   154. Два груза висят на нитях в воздухе. Сила натяжения верхней нити в два раза больше силы натяжения нижней нити. Когда оба груза полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась на 20 %, а нижней – на 30 %. Найдите плотности нижнего и верхнего грузов. Плотность воды ρ = 1 г/см³. [ρ₁ = 3,3 г/см³, ρ₂ = 10 г/см³]

   155. В воздухе на нитях висят два шара. Сила натяжения верхней нити на 40 % больше силы натяжения нижней нити. Когда оба шара полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась в 7 раз, а нижней – на 20 %. Найдите плотности нижнего и верхнего шаров. Плотность воды ρ = 1 г/см³. [ρ₁ = 5 г/см³, ρ₂ = 0,4 г/см³]

   156. Два предмета висят на нитях в воздухе. Сила натяжения верхней нити в четыре раза больше силы натяжения нижней нити. Когда оба предмета полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась на 60 %, а нижней – на 40 %. Найдите плотности нижнего и верхнего предметов. Плотность воды ρ = 1 г/см³. [ρ₁ = 2,5 г/см³, ρ₂ = 1,5 г/см³]

   157. В воздухе на нитях висят два бруска. Сила натяжения верхней нити на 80 % больше силы натяжения нижней нити. Когда оба бруска полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась в 9 раз, а нижней − на 60 %. Найдите плотности нижнего и верхнего брусков. Плотность воды ρ = 1 г/см³. [ρ₁ = 1,6 г/см³, ρ₂ = 0,8 г/см³]