Кинематика. МИФИ
   52. Тело массой 0,5 кг, укрепленное на штанге длиной 2 м, равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг оси, делая 20 оборотов в минуту. Определить силу натяжения штанги при вращении в наивысшей и наинизшей точках траектории тела. [T_в = −2,7 H; T_н = 7,1 H]

   53. К грузику массы m = 10 г, подвешенному с помощью двух нитей, из которых одна горизонтальна, а другая образует с вертикалью угол α = 60^o, привязан на нити другой грузик массы m₂ =20 г (рис.). Определить ускорение a₂ грузика массы m₂ сразу же после пережигания горизонтальной нити. Нити считать нерастяжимыми. [a = 9 м/с²]

   54. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, с линейными скоростями v₁ = 7,8 км/с и v₂ = 7,7 км/с. Определить интервал времени τ, через который оба спутника, вращающиеся вокруг Земли в одном направлении, периодически сближаются на минимальное расстояние друг от друга. Радиус Земли R = 6400 км. [τ = 2πgR²/(v₁³ − v₂³) ≈ 39 ч]

   55. Доска массой M = 500 г плавает на воде. На одном конце доски в точке A сидит лягушка. С какой наименьшей скоростью она должна прыгнуть, чтобы попасть в точку B на доске, отстоящую на l = 25 см от точки A? Масса лягушки m = 150 г. Трением между доской и водой пренебречь. [v_min = √{Mql/(m + M)} ≈ 1,4 м/с]

   56. К бруску массой m = 0,5 кг, лежащему на горизонтальном столе, прикреплена одним концом вертикально расположенная пружина жесткостью k = 10 Н/м. Другой коней пружины закреплен над бруском на высоте l_o = 0,1 м. В этом положении пружина не деформирована. При равномерном движении стола в горизонтальном направлении пружина отклоняется на угол α = 60^o от вертикали. Найдите коэффициент трения между бруском и столом. [μ = 0,2]

   57. Небольшой шайбе A сообщили в горизонтальном направлении скорость v_o = 10 м/с, как показано на рисунке. После этого шайба, поднявшись по закруглению ВС радиусом R = 2 м, взлетела и упала в точке D. Угол α = 60^o. Найдите расстояние l = |CD|. пренебрегая трением сопротивлением воздуха. [l = 6,9 м]

   58. К лежащему на горизонтальной поверхности бруску массой m = 12 кг прикреплена пружина жесткостью k = 300 Н/м (рис.). Коэффициент трения между бруском и поверхностью μ = 0,4. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины силу F, направленную под углом α = 30^o к горизонту, медленно переместили брусок на расстояние s = 0,4 м. Какая работа была при этом совершена? [A = 19 Дж]

   59. Два маленьких тела с массами m₁ = 2 кг и m₂ = 6 кг соединили нитью и положили на гладкую цилиндрическую поверхность так, как показано на рисунке. Величина угла α неизвестна. Если тела в таком положении отпустить, они начинают двигаться с ускорением a = 6 м/с². С каким ускорением будут двигаться тела, если их расположить на цилиндрической поверхности симметрично (рис. 2)? [a ≈ 2,2 м/с²]

   60. На грань призмы, образующей угол α = 30^o с горизонтом, положили груз (рис.). Коэффициент трения между грузом и призмой μ = 0,35. С каким ускорением нужно двигать призму вдоль оси X, чтобы груз не скользил относительно примы ни вверх, ни вниз? [4 м/с² = a₁ ≤ a ≤ a₂ = 11,5 м/с²]

   61. На нити подвешен маленький шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. Какой угол образует нить с вертикалью в момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально? [α = arctg√2 = arccos(1/√3) ≈ 55^o]

   62. На колесе радиуса R = 3,2 см имеется плоская часть длиной a = 2 см. При каком коэффициенте трения колесо будет скользить, а не катиться по горизонтальной поверхности, если его плавно тянуть за ось вращения в горизонтальном направлении? [μ ≤ a/√{4R² − a²} = 0,33]

   63. Определите силу натяжения нити в системе грузов, изображенной на рисунке. Наклонная плоскость составляет с линией горизонта угол α = 30^o. Массой блоков и нити можно пренебречь. Нить нерастяжима. Трение в системе отсутствует. Масса груза m = 1 кг. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с². [T = 31 H]

  &nbsp 64. Оцените массу Солнца. Радиус орбиты Земли R =1,5 × 10⁸ км, гравитационная постоянная G = 6,7 × 10⁻¹¹ Н•м²/кг², продолжительность земного года T = 3,1 × 10⁷ с. [M = 2 × 10³⁰]

   65. Маленький шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити и совершает колебания в вертикальной плоскости. При прохождении положения равновесия его ускорение равно a_o = 10 м/с². Чему равно ускорение шарика при максимальном отклонении от положения равновесия? Ускорение свободного паления принять равным g = 10 м/с². [a = 8,5 м/с²]

   66. Определите силу, действующую на вертикальную стенку со стороны клина, если на него положили брусок массой m = 1 кг. Угол при основании клина α = 30^o. Коэффициент трения между бруском и клином μ =0,3. Трение между кладом и полом отсутствует. [N = 2,1 H]

   67. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута невесомая нерастяжимая нить. На одном конце нити привязан груз массой m₁ = 3 кг. По другому концу нити может скользить с трением кольцо массой m₂ = 4 кг. С каким ускорением движется кольцо, если груз m1 неподвижен? g = 10 м/с². [a₂ = 2,5 м/с²]

   68. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута невесомая нерастяжимая нить. На одном конце нити привязан груз массой m₁. По другому концу нити может скользить с трением кольцо массой m₂. Каково отношение m₁/m₂, если груз и кольцо опускаются с ускорением a₁ = 2 м/с² и a₂ = 4 м/с² соответственно? g = 10 м/с². [0,75]

   69. Через легкий вращающийся без трения блок переброшена невесомая нерастяжимая нить. На одном конце нити привязан груз массой m₁ = 8 кг. По другому концу нити может скользить с трением кольцо массой m₂ = 6 кг. С каким ускорением движется груз, если кольцо m₂ неподвижно? g = 10 м/с². [a₁ = 2,5 м/с²]

   70. Через легкий вращающийся без трения блок переброшена невесомая нерастяжимая нить. На одном конце нити привязан груз массой m₁. По другому концу нити может скользить с трением кольцо массой m₂. Каково отношение m₁/m₂ если груз поднимается с ускорением a₁ = 5 м/с², а кольцо опускается с ускорением a₂ = 7 м/с². g = 10 м/с². [0,2]

   71. Маленький брусок поместили на грань клина, составляющую угол α с линией горизонта. Клин движется по горизонтальной поверхности с ускорением в сторону, указанную стрелкой на рисунке. Коэффициент трения между бруском и гранью клина − μ При каких значениях ускорения клина a брусок не будет скользить по клину. μ < 1. [если α = arctg&mu;, то a ≤ (sinα + μcosα)g/(cosα − μsinα), если arctgμ ≤ α ≤ arctg(1/μ), то a_min ≤ a ≤ a_max, если α ≥ arctg(1/μ), то a_min ≥ (sinα − μcosα)g/(cosα + μsinα)]

   72. Маленький брусок поместили на грань клина, составляющую угол α с линией горизонта. Клин вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси и вместе с ней поднимается вверх с ускорением a. Коэффициент трения между бруском и гранью клина μ. На каком расстоянии R от оси вращения должен находиться брусок, чтобы не скользить по клину? μ < 1. [если α ≤ arctgμ, то R ≤ R_max = (a + g)(sinα + μcosα)/(ω² (cosα − μsinα)), если arctgμ ≤ α ≤ arctg(1/μ), то R_min ≤ R ≤ R_max, если α > arctg(1/μ), то R ≥ R_min = (a + g)(sinα − μcosα)/(ω² (cosα + μsinα))]

   73. Два бруска массами m₁ и m₂ соединены невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Блок − невесомый, трение в оси блока отсутствует. Ось блока прикреплена к подставке, которая движется в горизонтальном направлении с ускорением в сторону, указанную стрелкой на рисунке. Коэффициент трения между брусками и поверхностью подставки (горизонтальной и вертикальной) равен μ. При каких значениях ускорения подставки a бруски не будут по ней скользить? μ < 1. [если m₁/m₂ ≤ μ, то α ≥ α_min = (m₂ − μm₁)/(m₁ + μm₂), если μ < m₁/m₂ < 1/μ, то a_min ≤ a ≤ a _max, если m₁/m₂ ≥ 1/&mu, то α ≤ α_max = (m₂ + μm₁)/(m₁ − μm₂)]

   74. Маленький брусок поместили на грань клина, составляющую некоторый угол с линией горизонта. Клин вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси и вместе с ней опускается вниз с ускорением a. Коэффициент трения между бруском и гранью клина равен μ. При каких значениях угла, наклона грани клина α брусок не будет по ней скользить? μ < 1? a < g. [если ω²R/(g − a) ≤ μ, то α ≤ α_max = arctg{ω²R + μ(g − a)/((g − a) − μω²R)}, если μ < ω²R/(g − a) < 1/μ, то α_min ≤ α ≤ α_max, если ω²R/(g − a) ≥ 1/μ, то α ≥ α_min = arctg{ω²R − μ(g − a)/((g − a) + μω²R)}]

   75. На доске массой M =1 кг, находящейся на горизонтальной поверхности, находится тело массой m = 100 г. К доске приложена внешняя сила F =10 Н, направленная под углом α =30^o к горизонту. Найти ускорение тела. Коэффициент трения между всеми поверхностями μ = 0,6. g = 10 м/с². [a = 4,6 м/с²]

   76. Доска длиной l = 1 м, движущаяся по гладкой поверхности со скоростью v_o = 5 м/с, наезжает на шероховатую поверхность. Коэффициент трения между доской и шероховатой поверхностью μ = 0,4. Через какое время половина доски окажется на шероховатой поверхности? g =10 м/с². [t = 0,1 c]

   77. На доске массой M = 1 кг, находящейся на горизонтальной поверхности, находится тело массой m = 100 г. К доске приложена внешняя сила F = 10 Н, направленная под углом α = 30^o к горизонту. Найти ускорение тела. Коэффициент трения между всеми поверхностями μ = 0,4. g = 10 м/с². [тело скользит по доске a = μg = 4 м/с²]

   78. Доска длиной l = 1 м, движущаяся по гладкой поверхности со скоростью v_o = 5 м/с, наезжает на шероховатую поверхность. Коэффициент трения между доской и шероховатой поверхностью μ = 0,4. Через какое время доска остановится? g = 10 м/с². [t = 1,4 c]

   79. На доске массой M = 1 кг, находящейся на горизонтальной поверхности, находится тело массой m = 100 г. К доске приложена внешняя сила F = 10 Н, направленная под углом α = 30^o к горизонту. Найти ускорение тела. Коэффициент трения между всеми поверхностями μ = 0,2. g = 10 м/с². [a = 2 м/с²]

   80. Гибкий канат длиной l = 1 м, движущийся по гладкой поверхности со скоростью v_o = 4 м/с, наезжает на гладкую наклонную плоскость. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30^o. Через какое время канат остановится? g = 10 м/с². [t = 0,93 c]

   81. На доске массой M = 1 кг, находящейся на горизонтальной поверхности, находится тело массой m = 100 г. К доске приложена внешняя сила F = 10 Н, направленная под углом α = 30^o к горизонту. Найти ускорение тела. Коэффициент трения между всеми поверхностями μ = 0,4. g = 10 м/с². [a = 2,05 м/с², тело покоится относительно доски]

   82. Вырезанный из листа фанеры прямоугольный треугольник с меньшим острым углом α расположен на шероховатой горизонтальной поверхности (рис.). Чтобы повернуть треугольник относительно закрепленной вертикальной оси, проходящей через вершину угла α, к треугольнику необходимо приложить минимальную горизонтальную силу F₁, а чтобы повернуть его относительно закрепленной вертикальной оси, проходящей через вершину другого острого угла − минимальную горизонтальную силу F₂. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к треугольнику, чтобы повернуть его относительно закрепленной вертикальной оси, проходящей через вершину прямого угла? [F₃ = F₁sin²α/cosα + F₂cos²α]

   83. Тонкая трубка изогнута в виде дуги окружности АВ, опирающейся на угол &alpha; (α < π/2), и закреплена в вертикальной плоскости так, как показано на рисунке: точка O − центр окружности, радиус ОА перпендикулярен поверхности земли. Внутри трубки удерживают гибкую нерастяжимую веревку. Длина веревки равна длине трубки. Веревку отпускают, и она начинает двигаться. Найдите ускорение веревки в этот момент. Трение отсутствует. [a = (1 − cosα)g/α, здесь α − в радианах]

   84. Ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты равно g. Найти ускорение свободного падения на поверхности другой планеты, масса которой в k раз больше, а радиус в n раз меньше, чем у первой. [g₁ = g/(kn²)]

   85. На краю горизонтального диска находится тело массой m, привязанное нитью длиной l к оси диска (рис.). Нить составляет с осью угол α. Диск вращается вокруг своей оси, при этом тело вращается вместе с ним. При какой угловой скорости тело оторвется от диска? [ω = √{g/(lcosα)}]

   86. Два тела с разными массами связанны невесомой нитью и подвешены за тело с большей массой к пружине, привязанной к потолку (рис.). Если нить между телами перерезать, тело с большей массой будет в первый момент иметь ускорение a₁. Какое ускорение будет иметь в первый момент тело с меньшей массой, если тела подвесить к пружине за него, а затем перерезать нить? [a₂ = g²/a₁]

   87. Груз массой m = 1 кг лежит на полу кабины лифта. При этом груз действует на пол лифта с силой F = 5 Н. Найдите величину и направление ускорения лифта. Ускорение свободного падения g = 10 м/с². [ускорение направлено вертикально вниз и равно a = g − F/m = 5 м/с²]