Готовимся к олимпиаде по физике. «Удаляющийся камень»

 Задача. Камень брошен под углом α к горизонту с некоторой начальной скоростью v_o. При каком значении угла α камень будет удаляться от точки бросания в течение всего полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.

 Решение.
 v_x^/ − скорость камня в некоторый момент времени t; β − угол между радиусом вектором r и скоростью v_x^/ в некоторый момент t. При t → 0, β → 0. Далее угол β увеличивается и при «благоприятных» значениях α может достичь значений 90°. В этот момент скорость будет перпендикулярна вектору r, т. е. камень в этот момент будет двигаться по окружности радиуса r и, как следствие оставаться на одинаковом расстоянии от точки бросания, т. е. не будет удаляться. Найдем эти значения α.

 Так как эти вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
v_x(v_ocosα; v_osinα − gt)
r(tv_ocosα tv_osinα − gt²/2)
координаты этих векторов.
v_xr = tv_o²cos²α + (v_osinα − gt)(tv_osinα − gt²/2) = 0,
tv_o²cos₂α + tv_o²sin²α − g²t³/2 − 1,5gt²v_osinα = 0,
g²t² − 3gtv_osinα + 2v_o² = 0. (1)
Решаем квадратное уравнение (1) относительно sinα.
D = 9g²v_o²sin²α − 8v_o²g².
Дискриминант должен быть больше либо равен нулю.
9g²v_o²sin²α − 8v_o²g² ≥ 0, 9sin²α ≥ 8, sin²α ≥ 8/9
sinα ≥ 2√{2}/3 или sinα ≤ 2√{2}/3 (не проходит).
90 ≥ α ≥ 70,5.
 Таким образом, ответом на эту задачу являются такие α от 0° до 90°, за исключением полученных значений, т. е. 0° ≤ α < 71°.

---

 Смотрите еще:
 Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
 Подготовка олимпиадника.
 Подготовка абитуриента.