• Предыдущая задача

 32. Человек ростом h = 2 м, привязанный гибким упругим тросом за ногу, прыгает вниз с платформы, возвышающейся над озером на высоте h = 25 м (рис.). Другой конец троса прикреплен к платформе. Человек начинает падать из состояния покоя, находясь в вертикальном положении.
 Длина и упругие свойства троса выбраны так, чтобы скорость человека обратилась в ноль в тот момент, когда его голова достигнет поверхности воды. В конце концов прыгун зависает на тросе вверх ногами, а его голова находится на высоте Δh = 8 м над поверхностью воды.
 а) Найдите длину троса в нерастянутом состоянии.
 б) Найдите максимальные скорость и ускорение, которые достигаются во время падения.

 Решение.
 а) Пусть k − упругость троса, l_o − его длина в нерастянутом состоянии. Максимальная длина троса l₁, оказалась равной

l₁ = h − h_o = 23 см,

в то время как в равновесии под нагрузкой длина l₂ троса равна

l₂ = l₁ − Δh = 15 см.
 Учтем, что в верхнем (исходном) и нижнем положениях прыгун не имел кинетической энергии, поэтому в максимально растянутом состоянии упругая энергия троса равна изменению потенциальной энергии прыгуна. Пренебрегая массой троса и полагая, что центр масс прыгуна находится на середине его высоты, запишем
mgh = k(l₁ − l_o)²/2.
Кроме того, в состоянии равновесия
mg = k(l₂ − l_o).
При делении этих двух уравнений друг на друга мы получаем для l_o квадратное уравнение
l_o² + 2(h − l₁)l_o + (l₁² − 2hl₂) = 0,
или
l_o² + 4l_o − 221 = 0,
откуда находим, что l_o = 13 м.
 Определим еще упругость k троса (для человека массой m = 100 кг):
k = mg/(l₂ − l_o) = 1000/2 = 500 (Н/м).
 б) Когда падающий прыгун достигает самой высокой скорости, его ускорение становится равным нулю. То же наблюдается при прохождении колеблющимся телом положения равновесия. В нашем случае это происходит при l = l₂. Используя закон сохранения механической энергии, можем записать
mv²/2 + k(l₂ − l_o)²/2 = mg(l₂ + h_o).
 Подставив в это уравнение выражение для упругости k из пункта a), получим для максимальной скорости v при прохождении положения равновесия такое выражение:
v = √{g(l₂ + l_o + 2h_o)} = √{10 × 32} ≈ 17,8 (м/с) ≈ 64 км/ч.
 Если не пользоваться аналогией с колебательным движением, то из закона сохранения энергии найдем, что максимальная скорость прыгуна v = 18 м/с ≈ 65 км/ч.
 При вычислении максимального ускорения необходимо определить максимальную силу, действующую на прыгуна в нижней точке. Так как самое большое растяжение троса (10 м) в пять раз больше растяжения в положении равновесия (2 м), то самая большая сила натяжения троса равна 5mg. Так что максимальная равнодействующая сила, действующая на прыгуна, равна 4mg, а его максимальное ускорение равно, соответственно, а = 4g = 40 м/с².

• Следующая задача