• Предыдущая задача

 88(2). Человек находится в поле на расстоянии l = 60 м от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя, на расстоянии x_o вдоль шоссе он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы успеть сесть в автобус? При каких значениях x_o это возможно? Скорость автобуса v_а = 16 м/с, скорость человека v_ч = 4 м/с.

 Решение.
Желая сесть в автобус, нужно выбежать как можно дальше впереди него. С другой стороны, чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым углом к перпендикуляру, то путь человека до шоссе увеличится на величину Δl, но зато он выбежит на дорогу на расстояние d левее точки В. Если выбрать угол α достаточно малым, то расстояние d можно сделать больше расстояния Δl в любое число раз. Поэтому, несмотря на то, что скорость человека меньше скорости автобуса, он окажется на шоссе впереди автобуса на большем расстоянии, чем, если выбежит в точке В. Под каким же углом α к перпендикуляру к шоссе следует бежать человеку?
Рассмотрим сначала чисто алгебраический метод решения. Пусть человек бежит под углом α к перпендикуляру к шоссе. Время, через которое он выбежит на дорогу, определяется соотношением:

t = l/(v_чcosα).
 Если человек появляется на дороге, когда к этому месту подъезжает автобус, то (рис.)

x_o + ltgα = v_at = v_al/(v_чcosα).
Откуда
x_o = l(v_a/(v_чcosα) − tgα). (1)
 Чем меньше расстояние х_о, тем лучше выбрана "стратегия": человек успевает на автобус, позже заметив последний. Задача, таким образом, заключается в выборе угла α, при котором правая часть (1) минимальна. Его можно найти, взяв производную функции
х_о = f(α).
 Получаем:
sinα = v_ч/v_a. (2)
Теперь минимальное значение возможно, находится из (1):
x_omin = l(v_a/v_ч − v_ч/v_a)/√{1 − (v_ч/v_a)²}.
 Соотношение (2) может быть получено и иначе, если привлечь "геометрические" соображения. В произвольную точку шоссе D (рис.)

автобус придет за время t = s/v_a,
где s − длина участка CD шоссе.
 В эту же точку за время, равное или меньшее t, человек может попасть, если он находится в пределах круга радиуса r = v_чt с центром в точке D. Начертив подобные круги для других точек, расположенных на шоссе, получаем область, из которой человек всегда успеет сесть в автобус. Границами ее являются две общие касательные к окружностям, составляющие с линией шоссе угол α, равный углу, под которым нужно бежать к перпендикуляру к шоссе. Этот угол определяется равенством:
sinα = r/s = v_ч/v_a.
 Еще проще выглядит решение, если перейти в систему отсчета, в которой автобус покоится (рис.).

 Эта система отсчета движется относительно земли влево со скоростью v_a. Неподвижно стоящий на земле человек имеет в ней скорость −v_a, направленную вправо. Скорость бегущего человека v в этой системе отсчета равна векторной сумме −v_a и скорости человека относительно земли v_ч. Поскольку модуль скорости человека v_ч постоянен, конец этого вектора лежит на окружности. Соединяя начало вектора −v_a с концом вектора v_ч, получаем вектор результирующей скорости v. Если, двигаясь в направлении этого вектора, человек окажется на дороге левее автобуса, то успеет на него. Из рисунка видно, что оптимальный угол удовлетворяет соотношению (2) и составляет около 14,5°.

• Следующая задача