Изучите материал самостоятельно.

Движение тела брошенного под углом к горизонту.

   Пусть тело брошено с горизонтальной плоскости под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью (сопротивлением среды пренебрегаем). При решении задач используем метод наложения движений:

1. Равномерное прямолинейное движение вдоль оси направленной по горизонтальной плоскости.
2. Равнозамедленное (равноускоренное) движение вдоль оси направленной перпендикулярно к плоскости.

   Для получения ответов на вопросы задачи освоим несколько методов решения. Рассмотрим конкретный пример:

   Пример 1. С какой скоростью должны вылететь мина из миномета в момент старта ракеты, вылетающей вертикально вверх с ускорением 3g без начальной скорости, чтобы поразить эту ракету? Расстояние от миномета до места старта ракеты 250 м, мина вылетает под углом 45° к горизонту.

   Ось XOY направим так, как показано на рисунке.

   Мина поразит ракету в точке A. По горизонтали она пролетит расстояние равное
S = v_xt = v_ocosα•t, (1)
где t −− время полета мины.
   По вертикали мина пролетит расстояние равное высоте подъема ракеты (должна попасть в ракету).
H = v_yt − gt²/2 = v_osinα•t − gt²/2. (2)
   Высота подъема ракеты до точки A
H = 3gt²/2. (3)
Приравняем (2) и (3)
v_osinα•t − gt²/2 = 3gt²/2.
Сократив на время, имеем уравнение
v_osinα − gt/2 = 3gt/2. (4)
Из уравнения (4) выразим время полета мины (ракеты)
t = v_osinα/(2g). (5)
Теперь подставим в уравнение (1)
S = v_xt = v_ocosα•v_osinα/(2g).
Откуда выражаем искомую скорость мины
v_o = [2gS/(cosα•sinα)]^1/2 = 2[gS/(sin2α)]^1/2.
Вычислим скорость мины
v_o = 2[10•250/sin(2•45°)]^1/2 = 100 м/с.
   Вывод: для ответа на вопрос задачи мы решали три уравнения:
S = v_ocosα•t, H = v_osinα•t − gt²/2, H = 3gt²/2.
   В которых три неизвестных: высота, на которой произошло попадание, время попадания мины в ракету и начальная скорость мины (искомая). Три уравнения с тремя неизвестными дают решение.

   Рассмотрим второй способ решения задачи. Изменим систему отсчета. Предлагаю «выключить гравитационное поле Земли».
   Земля действует на оба тела, отключив ее мы получим ситуацию равномерного движения мины и равноускоренного движения ракеты с ускорением 4g = 3g + g. Правда и Земля будет двигаться вверх с ускорением g, но она нас не интересует.
   Итак, мина летит по прямой и пролетает расстояние равное L = S(2)^1/2, так как мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник (смотри на рисунке).

   Ракета до точки попадания мины пролетает расстояние
S = 4gt²/2 = 2gt².
Откуда время t = [S/(2g)]^1/2.
Теперь определим скорость мины
v_o = L/t = S√2/√{S/(2g)} = 2√(gS).
Подставим численные значения
v_o = 2√(10•250) = 100 м/с.
   Изменив систему отсчета, мы гораздо проще определили время полета мины и ракеты до попадания.

Рассмотрим еще один классический пример.

 Пример 2. С высоты 1,5 м на наклонную плоскость вертикально падает шарик и абсолютно упруго отражается от нее. На каком расстоянии от места падения он снова ударится о туже плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту 30°.

   Выберем оси координат, так как показано на рисунке.

   По вертикали, до точки удара о плоскость, тело пролетит расстояние H, уравнение координаты вдоль оси OY имеет вид
0 = H + v_osinα•t − gt²/2. (1)
   Дальность полета вдоль оси OX равна
S = v_ocosα•t. (2)
Выразим из уравнения (2) время полета и подставим в (1) уравнение
0 = H + Stgα − (g/2)S²/(v_ocosα) ². (3)
Из соотношения в прямоугольном треугольнике свяжем высоту и дальность полета по горизонтали с дальностью полета вдоль плоскости
H = Lsinα, S = Lcosα.
Подставим в уравнение (3)
0 = Lsinα + Lcosαtgα − (g/2)(Lcosα)²/(vocosα)²,
или
0 = 2sinα − gL/(2v_o²),
Выразим дальность полета вдоль наклонной плоскости
L = 4v_o²sinα/g.
Так как скорость тела перед падением на плоскость равна v_o² = 2gh (свободное падение), то
L = 8hsinα,
После подстановки L = 8•1,5•sin30 = 6 м.

   Решим задачу в системе координат, так как показано на рисунке, развернув ее на 30° по отношению к первоначальной по часовой стрелке.

   В новой системе координат, тело брошено под углом к горизонту 90° − &alpha = 60°. Обратим внимание на то, что в новой системе координат тело движется равноускоренно вдоль оси OX с ускорением g_x = gsinα и дальность полета равна
L = v_ocos(90° − α)•t + gsinαt²/2, (1)
где t – время полета, которое найдем из уравнения скорости вдоль оси OY. Учтем, что тело движется с ускорением g_y = −gcosα в проекции на ось OY
v_y = v_osin(90° − α) ? gcosαt.
   В верхней точке траектории v_y = 0, тогда
v_osin(90° − α) − gcosαt₁ = 0 и t₁ = v_o/g,
а время полета t = 2t₁ = 2v_o/g.
   Подставим время полета в уравнение (1)
L = v_osinα•2v_o/g + gsinα (2v_o/g)²/2 = 4v_osinα/g.
C учетом того, что скорость тела перед падением на плоскость равна v_o² = 2gh получим дальность полета
L = 8hsinα,
   Мы получили тот же результат, но, может быть чуть с более сложной математикой.

   Третий способ решения.
    «Выключим Землю», тогда тело будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью v_o, а горка придет в движение с ускорением g и придет в точку A одновременно с телом.

   Проанализировав углы треугольника OAB видим, что все они равны 60°. Тогда OA = AB = OB = L.
   Расстояние OA = v_o•t, а AB = gt²/2. Приравняв правые части v_o•t = gt²/2, найдем время полета тела t = 2v_o/g.
   Тогда дальность полета
L = OA = 2v_o•v_o/g = 2v_o²/g.
   C учетом того, что скорость тела перед падением на плоскость равна v_o² = 2gh получим дальность полета L = 4h = 4•1,5 = 6 м.

   Замечание:

• Третьим способом время полета определяется гораздо проще.
• Если решать задачу в общем виде, то формула дальности полета будет такой же L = 8hsinα.

Задачи для самостоятельной работы.
   1 Задача. На горе с уклоном к горизонту 30° горизонтально бросают мяч с начальной скоростью 15 м/с. На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости упадет мяч?

   2 Задача. Из окна, находящегося на высоте 7,5 м, бросают камень под углом 45° к горизонту. Камень упал на расстоянии 15 м от стены дома. С какой скоростью был брошен камень?

   3 Задача. Из некоторой точки на склоне горы бросают вверх по склону тело с начальной скоростью 21 м/с под углом 60° к горизонту. На каком расстоянии от точки бросания упадет тело, если угол наклона горы 30°?

   4 Задача. Два камня расположены на одной горизонтали на расстоянии 42 м друг от друга. Один камень бросают вертикально вверх со скоростью 5 м/с, а второй одновременно бросают под углом 30° к горизонту по направлению к первому камню со скоростью 8 м/с. Чему равно наименьшее расстояние между камнями в процессе движения?

   5 Задача. Маленький шарик падает без начальной скорости с некоторой высоты H на наклонную плоскость. После удара он попадает на вторую плоскость. Точка первого удара находится на расстоянии L от линии соприкосновения плоскостей. С какой высоты H упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен α, причем α < π/4.

   6 Задача. Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии l от миномета будут падать мины, если их начальная скорость v_o, угол наклона горы α и угол стрельбы относительно горизонта β?

   7 Задача. Вдогонку снаряду, выпущенному горизонтально с горы высотой h = 1 км со скоростью v_o = 500 м/с, через время t_o = 1 c выпущен второй снаряд. Какой минимальной начальной скоростью он должен обладать и под каким углом вылетать, чтобы догнать первый снаряд?

   8 Задача. Небольшая лампочка освещает вертикальную стену. Проходящий вдоль стены хулиган швырнул в лампочку камень под углом 45° к горизонту и попал. Найдите максимальное и минимальное значение скорости тени от камня на вертикальной стене. В момент броска камень находится на одной высоте с лампочкой на расстоянии L от нее.

---

 Смотрите еще:
 Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
 Подготовка олимпиадника.
 Подготовка абитуриента.