Задание 8. 7, 8, 9 класс.
   Задача 7. Для заполнения проточного бассейна можно использовать два крана, дающих одинаковый поток воды: с горячей и теплой водой. Температура горячей воды T₁ = 70 °C, температура теплой воды T₂ = 40 °C. При испытаниях бассейна заметили, что если открыть только кран с горячей водой, установившаяся температура воды в бассейне будет равняться T₁^/ = 50 °C. Если же открыть только кран с теплой водой, установившаяся температура воды в бассейне будет равняться T₂^/ = 30 °C. Определите, какая температура установится в бассейне, если открыть оба крана. Считайте, что поток тепла от воды прямо пропорционален разности температур воды и окружающей среды, а установившийся уровень воды в бассейне одинаков во всех трех случаях.

   Решение.
   По условию, мощность теплоотдачи из бассейна пропорциональна разности температур воды и окружающей среды:

P = αΔt.
   Теплоотдача компенсируется тем, что поступающая в бассейн вода теплее, чем вытекающая.
   Обозначим массу воды, поступающей в единицу времени в бассейн из одного крана, μ. Тогда приток тепла в единицу времени равен
P = cμ(t_in − t_out)
(c – теплоемкость воды, t_in и t_out − температура втекающей и вытекающей воды).
   Таким образом, можно записать уравнения баланса для ситуаций, когда открыт кран с горячей и теплой водой:
α(T₁^/ − T_o) = cμ(T₁ − T₁^/)
α(T₂^/ − T_o) = cμ(T₂ − T₂^/).
Здесь T_o − температура окружающей среды. Поделим их друг на друга:
(T₁^/ − T_o)/(T₂^/ − T_o) = (T₁ − T₁^/)/(T₂ − T₂^/).
Из этого уравнения можно найти T_o:
T_o = (T₁T₂^/ − T₂T₁^/)/((T₁ − T₁^/) − (T₂ − T₂^/)) = 10 ^oC.
Обозначим температуру, которая установится в бассейне, если открыть оба крана, T. Она удовлетворяет соотношению
α(T − T_o) = cμ(T₁ − T) + cμ(T₂ − T).
Разделив на первое уравнение, получим
(T − T_o)/(T₁^/ − T_o) = (T₁ + T₂ − 2T)/(T₁ − T₁^/).
Отсюда
T = (T₁T₁^/ − T₂T₂^/)/((T₁ + T₁^/) − (T₂ + T₂^/)) = 46 ^oC.