Подготовка к олимпиаде. Сфера. Полусфера

Оптика. Сфера. Полусфера

I. Посмотрите урок: "Преломление света сферической поверхностью"

 

II. Рассмотрите решение задач

Задача 1. Стеклянный шар, его показатель преломления $n$, освещается узким расходящимся пучком лучей, ось которого проходит через центр шара. Источник света расположен на расстоянии $l$ от поверхности шара. На таком же расстоянии от поверхности, но по другую сторону от шара, получается изображение источника. Определите радиус шара.

Решение.

Для получения изображения источника света потребуется найти пересечение двух лучей, прошедших через стеклянный шар. Один из лучей – осевой луч, а второй луч направим произвольно на поверхность стеклянного шара. В силу симметричного расположения источника и изображения относительно центра шара и в следствие обратимости световых лучей луч внутри шара пойдет горизонтально. Направляя луч близко к оси позволяет нам пренебречь длиной отрезка $BC$ по сравнению с радиусом шара $R$.

По закону преломления света в точке $A$ имеем систему уравнений

$sin(\alpha + \beta) = nsin\beta$,

$tg\alpha = \frac{h}{l}$, $sin\beta = \frac{h}{R}$.

Учтем, что для малых углов справедливо

$sin\alpha \approx tg\alpha \approx \alpha$,

Тогда, уравнения, записанные выше примут вид:

$\alpha + \beta = n\beta$,

$\alpha = \frac{h}{l}$, $\beta = \frac{h}{R}$.

Подставляя из второго и третьего уравнений значения углов $\alpha$ и $\beta$ в первое уравнение, получим

$R = l(n – 1)$.

Задача 2. Шар радиусом $R$ из стекла с показателем преломления $n$ разрезан по диаметру. На диаметральную плоскость одной из половин шара нормально падает параллельный пучок света. На каком расстоянии от центра шара пересекут главную оптическую ось лучи, прошедшие сферическую поверхность на наибольшем удалении от этой оси?

Решение.

Ход луча, удовлетворяющего условию задачи, изображен на рисунке.

Отметим, что этот луч, преломленный в точке $A$, пойдет перпендикулярно радиусу $OA$ и пересечет главную оптическую ось в точке $B$. По закону преломления,

$sin\alpha = \frac{1}{n}$,

так что лучи, идущие параллельно отмеченному лучу дальше от прямой $OB$, из полушара не выйдут в силу полного внутреннего отражения.

Из треугольника $OAB$ находим

$OB = \frac{R}{cos\alpha}$,

так как

$cos^2\alpha = 1 – sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{n^2}$,

то

$OB = \frac{nR}{\sqrt{n^2 - 1}}$.

Задача 3. Узкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара радиуса $R$, фокусируется на расстоянии $2R$ от его центра. Определите показатель преломления стекла.

Решение.

Рассмотрим произвольный луч пучка, падающего на шар, параллельный диаметру на расстоянии $h$. Так как $h \ll R$ (пучок узкий), угол падения этого луча на шар

$\alpha \approx \frac{h}{R} \ll 1$.

Учтем, что для малых углов справедливо

$sin\alpha \approx tg\alpha \approx \alpha$,

и закон преломления принимает вид

$\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{n_2}{n_1}$, или $n_1\alpha_1 = n_2\alpha_2$.

Построим дальнейший ход этого луча через шар и найдем все углы в треугольниках, $AOB$, $OBD$, $BDC$:

$\angle OAB = \angle OBA = \frac{\alpha}{n}$, $\angle BOD = \frac{2\alpha}{n} - \alpha$, $\angle BCD = \alpha – (\frac{2\alpha - \alpha}) = 2\alpha (1 - \frac{1}{n})$.

Тогда

$BD = R(\frac{2\alpha}{n} - \alpha)$, $DC = \frac{BD}{2\alpha (1 – 1/n)} = R\frac{2 - n}{2(n - 1)}$.

По условию задачи $DC = R$, откуда получаем

$n = \frac{4}{3}$.

Обратим внимание на то, что в окончательное выражение величина угла падения $\alpha$ не вошла, следовательно, все лучи падающего пучка собираются в одной точке.

Это один из законов параксиальной оптики – узкие пучки параллельных лучей собираются преломляющей системой в одну точку – фокус (или в одной точке собираются их продолжения – мнимый фокус).

Второй закон оптики параксиальных лучей состоит в том, что расходящиеся из одной точки под малыми углами лучи фокусируются преломляющей системой тоже в одну точку (с той же оговоркой относительно мнимого изображения).

Задача 4. Узкий параллельный пучок света падает по нормали на плоскую поверхность прозрачного ($n = \frac{4}{3}$) полуцилиндра радиусом $R = 5\sqrt{3}$ см и выходит из неё параллельно падающему пучку света (см. рис.) Если от момента входа в полуцилиндр до момента выхода из него потери энергии пучка не происходит, то минимальное расстояние $L$ между падающим и выходящим пучками света равно … см.

Примечание. Полуцилиндр - это тело, образованное рассечением цилиндра плоскостью, в которой лежит его ось симметрии.

Задача 5. Аквариум (РФО 2016 11-2)

Имеется тонкостенный прозрачный сосуд шарообразной формы радиусом $R$, заполненный прозрачной жидкостью, показатель преломления которой $n$. В сосуде равномерно опускается сверху вниз маленький шарик со скоростью $\vec{v}$ относительно сосуда. В следствие преломления света, кажущаяся глубина шарика $h$ (положение его изображения) будет отличаться от его истинной глубины $H$.

Часть 1. Вид сверху.

За движением шарика наблюдают сверху из точки расположенной на большом расстоянии от сосуда.

1.1 При каком положении шарика его кажущаяся глубина $h$ будет совпадать с истинной глубиной $H$, не зависимо от показателя преломления жидкости. Ответ обоснуйте.

1.2 Найдите зависимость кажущейся глубины $h$ шарика от его действительной глубины $H$ при $H < R$;

1.3 Найдите зависимость кажущейся глубины $h$ шарика от его действительной глубины $H$ при $H \geq R$;

1.4 Постройте график зависисимости, кажущейся глубины щарика $h$ от его истинной глубины $H$. Данный график постройте в относительных координатах $y = \frac{h}{R}$ от $x = \frac{H}{R}$, при двух значениях $n_1 = 1,5$ и $n_1 = 2,5$.

1.5 Найдите зависимость кажущейся скорости движения шарика от его действительной глубины $H$.

1.6 Постройте графики полученных в п. 1.5 зависимостей при двух значениях $n_1 = 1,5$ и $n_1 = 2,5$ в безразмерных координатах $\chi = \frac{u}{v}$ от $x = \frac{H}{R}$;

Часть 2. Вид сбоку.

Глаз наблюдателя находится сбоку на прямой, проходящей через центр шара и направленной под углом $45^0$ к вертикали. Показатель преломления жидкости равен $n_1 = 1,5$.

2.1 Постройте вектор видимой скорости движения шарика $\vec{u}$ при наблюдении сбоку, в момент времени, когда шарик проходит центр шара. Найдите координаты этого вектора в системе отсчета, показанной на рисунке.

III. Решите задачи и сверьтесь с ответом.

Задача 6. На половинку шара радиусом $r = 2$ см, изготовленного из стекла с показателем преломления $n = 1,41$, падает параллельный пучок лучей (рис.). Определите радиус светового пятна на экране, расположенном на расстоянии $L = 4,82$ см от центра шара.

Задача 7. На каком расстоянии от центра стеклянного шара радиусом $R$ должен находится муравей, чтобы его изображение за шаром было натуральной величины? Показатель преломления стекла $n$.

Задача 8. Узкий пучок света, пройдя через полушарие из стекла с показателем преломления $n$, собирается на расстоянии $x$ от выпуклой поверхности (рис.). На каком расстоянии от плоской поверхности соберутся лучи, если пучок пустить с противоположной стороны?

Задача 9. Световой луч падает на поверхность стеклянного шара. Угол падения луча $\alpha = 45^0$, показатель преломления стекла $n = \sqrt{2}$. Найдите угол между падающим лучом и лучом, вышедшим из шара.

Задача 10. Человек смотрит на рыбку, находящуюся в диаметрально противоположной от него точке шарового аквариума радиусом $R$. На сколько смещено при этом изображение рыбки относительно самой рыбки? Показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$.