Подготовка к олимпиаде. Плавание. Свеча в воде

Плавание. Свеча в воде

Добавьте небольшой грузик к свече, чтобы она устойчиво плавала в воде. При горении свеча может продолжать держаться на плаву. Изучите и объясните это явление.

1. Изучите материал

Чем определяется устойчивость (остойчивость) плавания судов.

Условие плавления тела требует, чтобы были уравновешены сила тяжести $F_т$ тела, приложенная в центре тяжести, и выталкивающая сила $F_{выт}$, приложенная в центре давления. Если мысленно представить себе водную массу, заполнившую подводную часть объема тела, то центр тяжести этой водной массы как раз и будет центром давления. Чтобы тело плавало, не переворачиваясь, что принципиально важно, когда речь идет о кораблях и подводных лодках, нужно позаботиться об устойчивости равновесия указанных двух сил (используется термин «остойчивость судов»).

Начнем с вопроса об остойчивости подводных лодок. Итак, лодка полностью погрузилась под воду. Равновесие сил $F_т$ и $F_{выт}$ будет устойчивым при условии, что центр тяжести лодки $O$ находится ниже центра давления $O_1$ (рис. $a$).

В этом случае при наклоне лодки возникает момент пары сил,

равный по модулю

$M = \vec{F_т}l + \vec{F_{выт}}l$,

возвращающий накренившуюся лодку в вертикальное положение. Равновесие сил $F_т$ и $F_{выт}$ будет неустойчивым, если центр тяжести $O$O выше центра давления $O_1$ (рис. $б$). Возникающий при случайном крене лодки момент пары сил будет вызывать в этом случае еще больший крен, и лодка завалится набок и перевернется. Обратим внимание: центр давления для полностью погруженной под воду лодки все время (при любом крене) находится на средней линии судна, показанной на рисунке пунктирной прямой.

В случае с кораблем все обстоит сложнее. Дело в том, что при крене корабля центр давления отклоняется от средней линии. Он отклоняется в ту же сторону, в какую накренился корабль. При этом возможны две ситуации.

Первая представлена на рисунке $a$.

В накренившемся положении корабля вертикаль, проходящая через центр давления $O_1$, пересекает среднюю линию корабля в точке $M$, находящейся выше центра тяжести корабля $O$. В этом случае возникает момент пары сил $M = F_тl$, возвращающий корабль в нормальное положение. Легко видеть, что

$l = OM \cdot sin\alpha$,

где $\alpha$ – угол наклона корабля. Такой корабль обладает остойчивостью (равновесие сил $F_т$ и $F_{выт}$ является устойчивым). Точку $M$ называют метацентром, а расстояние $OM$ – метацентрической высотой.

Итак, корабль может быть остойчивым также тогда, когда его центр тяжести находится выше центра давления (и даже выше уровня воды) – лишь бы его метацентр находился выше центра тяжести корабля. Чем больше метацентрическая высота, тем выше остойчивость корабля. Поэтому важно заботиться о том, чтобы центр тяжести был пониже, для чего, в частности, следует убирать тяжелые грузы с верхней палубы.

Вторая ситуация изображена на рисунке $б$. Вертикаль, проведенная через центр давления $O_1$, пересекает среднюю линию корабля в метацентре M, оказавшемся ниже центра тяжести корабля $O$. Как видно из рисунка, теперь возникает момент пары сил, который не возвращает корабль в нормальное положение, а напротив, заваливает его. Такой корабль нельзя отправлять в плавание.

Задание 1. «Разминка»

Задача 1

Парафиновую (плотностью $\rho = 0,8$ г/см3) цилиндрическую свечу площадью основания $s = 1,0$ см2 опускают в ванну с водой (плотностью $\rho_0 = 1,0$ г/см3). Для придания свече устойчивости, к её нижнему основанию приклеили алюминиевую (плотностью $\rho_1 = 2,7$ г/см3) шайбу высотой $h = 1,0$ см и такой же, как и у свечи площади поперечного сечения $s = 1,0$ см2.

1.1 Найдите, при какой длине свечи $l$ она сможет устойчиво плавать в воде.

1.2 Плавающую свечу длины $l = 13,0$ см с прикрепленной к ней алюминиевой шайбой подожгли, так что она стала сгорать со скоростью $u = 3,0$ мм/мин. Через какое время свеча потухнет?

Задача 2.

Молодой, но талантливый физик Федя (он же Дядя Федор) летом гостил в деревне Простоквашино. Однажды он решил отправиться на рыбалку, наловить рыбки коту Матроскину. Но оказалось, что на его удочке потерялся поплавок. «Не беда! – Не сложно изготовить поплавок самостоятельно» – решил Федя. Нашел легкую деревянную прямую палочку, которая и должна служить поплавком. Как настоящий физик, Федя подумал, что было бы не плохо провести экспериментальные исследования. Бросил палочку в воду и… она не утонула, а расположилась на воде горизонтально, все попытки Феди заставить ее плавать вертикально окончились неудачей.

2.1. Докажите, что тонкий однородный стержень не может плавать вертикально.

Пришлось приступать к более серьезным исследованиям. Федя измерил характеристики своего будущего поплавка: имеет форму цилиндра, масса длина $l$, радиус $R$ (значительно меньше длины, глубокомысленно отметил Федя), $m_1$, плотность $\rho_1$ (заметно меньше плотности воды $\rho_0$, что тоже не плохо). Затем Федор вспомнил, что к поплавку положено грузило, в качестве которого решил использовать кусочки свинца (плотность $\rho_2$, которая больше плотности воды), массу грузила $m_2$ нужно подбирать. Грузило привязывается к нижнему концу поплавка.

Далее Федор решил упростить простейшие алгебраические выкладки и ввел «эффективную» массу грузила $\mu$, такую, чтобы модуль суммы сил тяжести и Архимеда, действующих на него можно было записывать в виде $\mu g$.

2.2. Выразите величину «эффективной» массы $\mu$, через заданные параметры.

2.3. Определите максимальную массу $m_{max}$ грузила, при которой поплавок не тонет.

2.4. Определите глубину погружения поплавка $x$, если масса грузила $m_2 < m_{max}$

Опустив поплавок с привязанным грузилом в воду, Федя обнаружил, что в зависимости от массы грузила поплавок плавает либо почти горизонтально (при малых массах грузила), либо вертикально, при больших массах. Для теоретического описания обнаруженного эффекта Федор решил считать поплавок очень тонким, то есть пренебречь его толщиной.

2.5. Докажите, что тонкий поплавок с грузилом может плавать либо почти горизонтально, либо вертикально, при всех значениях масс грузила, кроме единственного значения $m_2^*$, при котором поплавок может находиться в равновесии при любом угле его наклона $\alpha$. Найдите это значение массы $m_2^*$. Укажите при каких массах поплавка, он будет плавать вертикально.

Такой малый выбор вариантов положения поплавка Феде не понравился, поэтому он решил сделать поплавок чуть потолще, быстро выстругал новый цилиндрический стерженек, определил его параметры (и Вы тоже считайте их известными) и притупил к дальнейшим теоретическим расчетам.

Прежде всего, он понял, что наклонное положение описывается сложно – необходимо уметь считать объем и положение центра масс срезанного наискось цилиндра.

Обратившись к справочникам, он нашел, что срезанный наискось цилиндр, радиуса $R$ и высоты $H$, которую можно выразить через угол среза (он же и угол наклона поплавка) $H = 2R \cdot tg\alpha$, имеет объем равный

$V = \frac{1}{2}\pi R^2 H = \pi R^3 H tg\alpha$

Центр тяжести такого «срезанного» цилиндра $C$ находится на высоте

$b = \frac{5}{16}H = \frac{5}{8}Rtg\alpha$

и на расстоянии $a = \frac{5}{4}R$ от острого края цилиндра (или $\frac{1}{4}R$ от его оси).

 

Затем Федор вычислил координаты центра масс относительно центра срезанной грани $O^/$

$d_0 = (acos\alpha + bsin\alpha) - \frac{R}{cos\alpha} = \frac{R}{8}(5cos\alpha - \frac{3}{cos\alpha}$

$z = asin\alpha – bcos\alpha = \frac{5}{8}Rsin\alpha$.

Вам не следует выводить эти формулы (жюри не оценит ваши напрасные труды) – пользуйтесь готовыми.

Далее вам следует повторить расчеты дяди Федора!

2.6. Найдите длину $x_0$ погруженной части поплавка, если он плавает вертикально. Для характеристики массы грузила используйте его «эффективную» массу $\mu$.

Для облегчения проверки используйте следующие обозначения.

$\alpha$ – угол наклона оси поплавка к вертикали, $O^/$ – точка пересечения оси поплавка с горизонтальной поверхностью, $x_0$ – глубина погруженной части поплавка (расстояние от точки $O^/$ до нижнего края – подсказываем, она не зависит от угла наклона); $x$ – длина меньшей «стороны» погруженной части поплавка.

2.7. Изобразите на рисунке силы, действующие на поплавок, укажите точки их приложения. Запишите выражения для этих сил и их моментов, относительно точки $O^/$.

2.8. Запишите условия равновесия поплавка.

Уравнения получились не простыми, поэтому дядя Федор решил их решать, считая величину $x_0$ заданной и независимой от остальных параметров задачи.

2.9. При некоторых значениях $x_0$ уравнения равновесия имеют несколько решений. Найдите условия, при которых могут появиться положения равновесия, отличные от вертикального. Найдите значения углов $\alpha^*$, при которых поплавок может находиться в равновесии. Рассмотрите устойчивость этих положений равновесия.

Наконец, Федя вспомнил, что $x_0$ определяется параметрами поплавка.

2.10. Укажите, при каких значениях характеристик однородного цилиндрического поплавка и грузила, он может плавать устойчиво в наклонном положении?