Сборник задач. Углубленный уровень. 2. Электрическое поле. Закон Гаусса

          

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО. 2. Электрическое поле. Закон Гаусса

6.2.1. В вершинах квадрата со стороной $а$ находятся три заряда $q$ и один заряд ($-q$). Определите поле в центре квадрата (см. рисунок).

6.2.2. На высоте $h$ над закрепленным на Земле зарядом $q$ отпускают тело с таким же зарядом и с массой $m$ (см. рисунок). На какой высоте величина скорости тела достигнет максимальной величины? Как будет направлена эта скорость?

6.2.3. Когда на тонкое кольцо, с равномерно распределенным на нем зарядом $q$, поместили три точечных заряда, поле на оси кольца везде исчезло. Какова величина этих зарядов? Как расположены они на кольце? Во сколько раз нужно увеличить эти точечные заряды, чтобы поле по оси, не меняясь по величине, изменило свое направление?

6.2.4. а) Тонкое кольцо радиуса $R = 1$ м равномерно заряжено зарядом $Q = 1$ Кл. Найти напряженность поля на оси кольца на расстоянии $h = 1$ м от центра кольца.
б) Тонкое кольцо радиуса $R = 30$ см равномерно заряжено зарядом $Q = 10$ ед. СГСЭ. Оцените напряженность поля на оси кольца на расстоянии $d = 40$ см от плоскости кольца в СГС и в СИ.

6.2.5. Тонкое кольцо радиуса $R = 50$ см заряжено с линейной плотностью $\lambda = 0,1$ ед. СГСЭ/см. Из кольца вырезан кусочек длиной $l = 1$ см. Найти напряженность поля в центре кольца в СГС и в СИ.

6.2.6.* а) На одной половине тонкого кольца радиуса $R$ равномерно распределили заряд $Q$. Определите электрическое поле в центре кольца.
б) Во сколько раз увеличивается поле в задаче а), если заряд $Q$ распределить на дуге угла $\alpha$ (см. рисунок)?

6.2.7.* Определите поле в центре шара радиуса $R$, в котором в объеме, ограниченном боковой поверхностью конуса с радиусом $r$ при его основании и поверхностью шара, равномерно распределен заряд с плотностью $\rho$ (см. рисунок).

6.2.8. Два одинаковых равномерно заряженных тонких кольца сначала расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом к точке $O$, находящейся на расстоянии радиуса от центра каждого кольца (см. рисунок). Полный заряд одного кольца в $n$ раз больше второго. Во сколько раз изменится электрическое поле в этой же точке, если верхнее кольцо наложить на нижнее (см. рисунок)?

6.2.9. Ребро правильного тетраэдра, равномерно заряженное с линейной плотностью $\rho$, создает в центре тетраэдра электрическое поле $E$. Какое поле создадут в центре тетраэдра;
а) два смежных ребра с линейной плотностью зарядов $\rho_1$ и $\rho_2$ (см. рисунок);
б) два противолежащих ребра с линейной плотностью заряда $\rho_3$ и $\rho_4$ (см. рисунок);

в) три ребра, имеющих общую вершину, с линейной плотностью заряда $\rho_1$ и $\rho_2$ (см. рисунок)?
г) все шесть ребер с линейной плотностью заряда $\rho_1$, $\rho_2$, $\rho_3$, $\rho_4$, $\rho_5$, $\rho_6$ (см. рисунок)?

6.2.10. Над поверхностью Земли имеется электрическое поле с напряженностью около $100$ В/м, направленное вертикально вверх. Определите, какой заряд нужно нанести на человека, чтобы в этом поле он начал подниматься вверх при весе $70$ кг?

6.2.11. Шарик массой $m = 0,1$ кг, имеющий заряд $q = 2,0 \cdot 10^{-3}$ Кл, подвешен на нити в однородном горизонтальном электрическом поле напряженностью $E = 500$ В/м. Какой угол $\alpha$ с вертикалью образует нить?

6.2.12. а) Заряженный шарик отклонился на угол $45^0$, когда на него в горизонтальном направлении подействовали электрическим полем $E$ (см. рисунок, а), и на угол $60^0$, когда подействовали в том же направлении другим электрическим полем (см. рисунок, б). Определите это поле.
б) При действии на заряженный шарик подвешенный на нити, электрическим полем $Е$, направленным под углом $\gamma$ к вертикали, он отклонился на угол $\alpha$, $\alpha < \gamma$ (см. рисунок). Во сколько раз нужно увеличить это поле, чтобы отклонить шарик от вертикали на угол $\beta$, $\beta < \gamma$?

6.2.13. На внутренней поверхности конуса на расстоянии $l$ от его вершины покоятся напротив друг друга два тела с положительными зарядами $q$ и массами $m$. Ось конуса вертикальна, угол при вершине $2\alpha$ (см. рисунок). Если на заряды подействовать электрическим полем, направленным по полю тяжести, величина которого больше $E$, тела начнут двигаться вниз. При каком поле, направленном вверх, тела будут двигаться по поверхности конуса вверх?

6.2.14. В поле тяжести под углом $\alpha$ к горизонту установлена тонкая гладкая спица. На спицу нанизана бусинка с массой $m$ и зарядом $q$. Какое электрическое поле, направленное под углом $\beta$ к горизонту (см. рисунок), заставит бусинку оставаться на месте?

6.2.15. Частицы с массами $m_1$ и $m_2$, имеющие заряды $q_1$ и $q_2$, находятся все время на расстоянии $R$ друг от друга в электрическом поле, направленном вдоль прямой, соединяющей эти частицы (см. рисунок). Определите величину этого поля.

6.2.16. Два одинаково положительно заряженных тела с массами $M_1$ и $М_2$ связаны нитью длины $L$, которая выдерживает максимальную силу растяжения, равную $T$ (см. рисунок). При электрическом поле, направленном вдоль нити и равном $E$, нить рвется. Определите заряды тел.

6.2.17. а) Вертушка, состоящая из двух одинаковых перпендикулярных друг к другу стержней, скрепленных посредине, свободно вращается вокруг перпендикулярной им оси, проходящей через скрепление (см. рисунок). Вертушка находится в однородном электрическом поле $E$, параллельном плоскости вертушки. Какой заряд находится на одном из концов стержня, если на трех других находятся заряды $q_1$, $q_2$, и $q_3$, а угол, который образует стержень с искомым зарядом с направлением электрического поля в положении равновесия, равен $\alpha$ (см. рисунок)? С какой силой вертушка действует на ось?
б) Вертушка состоит из двух одинаковых стержней, скрепленных концами под углом $\beta$. Ось вращения проходит через скрепление и перпендикулярна стержням (см. рисунок). Вертушка находится в однородном электрическом поле $E$, параллельном плоскости вертушки. Какой заряд находится на одном из концов вертушки, если на втором находится заряд $q$, а угол, который образует стержень с искомым зарядом с направлением электрического поля, равен $\alpha$ (см. рисунок)? С какой силой вертушка действует на ось?
в) Однородный прут массы $M$ посредине согнули под прямым углом и подвесили за место перегиба (см. рисунок). На левую половину прута равномерно нанесли заряд $Q_1$, на правую - заряд $Q_2$. При медленном включении электрического поля, направленного по полю тяжести, прут повернулся на угол $\alpha$. Определите величину этого электрического поля.

6.2.18. Напряженность однородного электрического поля равна $E$. Поле параллельно нижней и боковым граням призмы, изображенной на рисунке, а. Расположение призмы в электрическом поле изображено на рисунке, б. Чему равен поток через каждую грань призмы? Чему равен полный поток через эту замкнутую поверхность? Используя закон Гаусса получите формулу для поля а) бесконечной пластины толщины $l$ плотностью объемного заряда $\rho$; б) двух параллельных плоскостей с плотностью поверхностных зарядов $+\sigma$ и $-\sigma$; в) бесконечного цилиндра радиуса $r$ с плотностью поверхностного заряда $\sigma$; г) сферы радиуса $R$, равномерно заряженной зарядом $Q$; д) шара радиуса $R$ с плотностью объемного заряда $\rho$.

6.2.19.* Докажите, две сферы радиусов $r$ и $R$, равномерно заряженные зарядами $q$ и $Q$, действуют друг на друга с силой, равной силе взаимодействия зарядов $q$ и $Q$, которые находятся в центре этих сфер, если расстояние между центрами сфер больше $r + R$.

6.2.20. а) В центре куба находится заряд $Q$. Определите потоки вектора $E$ через каждую грань куба.
б)* Как изменится поток вектора $\vec{E}$ через каждую грань, если заряд $Q$ перенести из центра в вершину куба (см. рисунок)?

6.2.21. а) Найти максимальный заряд, который можно сосредоточить на проводящей сфере радиуса $R = 1$ м, если известно, что пробой воздуха наступает при напряженности $E = 3$ МВ/м .
б) Какой заряд должна иметь Земля, чтобы ковер самолет с зарядом $1$ Кл и весом $1$ т парил над нею? Радиус Земли $6300$ км.

6.2.22. Чему равна поверхностная плотность зарядов на плоскости раздела, если поля в областях $I$ и $II$ однородны и направлены под углом $\alpha$ к плоскости (см. рисунок). Величина каждого поля равна $E$.

6.2.23. Дно цилиндрического сосуда и поршень массы $M$ являются обкладками плоского конденсатора, внутри которого находится газ (см. рисунок). Первоначальная плотность поверхностного заряда на обкладках равна ($+\sigma$) и ($-\sigma$), а расстояние между ними равно $h$. Площадь обкладок $S$. Ось сосуда направлена по полю тяжести. На сколько сместится поршень при исчезновении зарядов при неизменной температуре газа? Над поршнем газа нет.

6.2.24. а) Цилиндр радиуса $R$ окружен цилиндрической оболочкой, зазор между ними $l$ (см. рисунок). Электрическое поле вне цилиндра вблизи от его поверхности равно электрическому полю вне оболочки, вблизи от ее поверхности. Найти отношение заряда оболочки к заряду цилиндра.
б) Шар радиуса $R$ окружен сферической оболочкой. Зазор между шаром и оболочкой $l$ (см. рисунок). Электрическое поле вне шара вблизи от его поверхности равно электрическому полю вне оболочки вблизи от ее поверхности. Определите отношение заряда оболочки к заряду шара.

6.2.25.* а) Металлический цилиндр вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определите электрическое поле внутри цилиндра на расстоянии $r$ от его оси. Заряд и масса электрона равны соответственно $e$ и $m$.
б) Оцените максимальное электрическое поле в Земле, если бы она была металлической. Заряд электрона равен $-1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, а масса равна $9 \cdot 10^{-31}$ кг . Радиус Земли $6300$ км, полный заряд Земли равен нулю.
в) Незаряженную металлическую трубку с внутренним радиусом $r$ и внешним $R$ раскрутили вокруг ее оси до угловой скорости $\omega$. Определите плотность поверхностного заряда на внутренней и внешней поверхностях трубки.

6.2.26.* а) На стенки трубы квадратного сечения $а х а$ нанесли электрический заряд с поверхностной плотностью $\sigma$ (см. рисунок). С какой силой расталкиваются каждая из четырех стенок участка трубы длины $l$?
б) Решите задачу а), если сечение трубы - правильный шестиугольник со сторонами $a$ (см. рисунок).

6.2.27.* а) Одна грань куба имеет поверхностную плотность заряда $\sigma_0$, остальные - $\sigma$. Длина ребра куба $l$. С какой силой действуют остальные грани на грань с поверхностной плотностью заряда $\sigma_0$ (см. рисунок)?

б) Поверхностная плотность заряда одной грани правильного тетраэдра с ребрами длина $l$ равна $\sigma_0$, остальных - $\sigma$. С какой силой действуют остальные грани на первую грань?