• Предыдущая задача

   4(НГУ 1977). В запаянной с одного конца трубке сечения S находится поршень массы m на расстоянии l от запаянного конца. Другой коней трубки открыт, по обе стороны поршня – воздух с давлением p_o. Трубку начинают вращать с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через запаянный конец трубки. На каком расстоянии от дна трубки будет находиться поршень? Температура постоянна, трения нет.

   Решение:
   Из второго закона Ньютона и уравнения состояния идеального газа получаем для неизвестного расстояния x квадратное уравнение

mω²x²/(p_oS) – x + l = 0,

откуда

x_1,2 = p_oS/(2mω²){1 ± √[1 – 4mω²l/(p_oS)]}.

   Очевидно, что должно выполняться условие 4mω²l/(p_oS) < < 1, иначе поршень из трубки вылетит.
   Для того чтобы выяснить, оба ли корня подходят, можно построить графики двух функций:

y₁ = mω²x²/(p_oS) + l и y₂ = x.
   Пересечение этих графиков и дает два корня: x₁ и x₂. Нетрудно видеть, что корень x₁ соответствует неустойчивому положению равновесия, а корень x₂ – устойчивому. Следовательно, из физических соображений подходит лишь один корень x₂ (соответствующий знаку «минус» в скобке).

   Ответ: x₁ = p_oS/(2mω²){1 − √[1 – 4mω²l/(p_oS)]}.

• Следующая задача