• Предыдущая задача

   19(МГУ 1996). Идеальный газ в исходном состоянии имел температуру T_o. Затем давление газа уменьшили в n = 2 раза, увеличив его объем во столько же раз так, что объем изменялся в зависимости от давления по линейному закону. Найти максимальную температуру газа при этом процессе.

   Решение:
   Давление p идеального газа, занимаемый им объем V и его абсолютная температура T согласно уравнению Клапейрона – Менделеева должны удовлетворять соотношению: pV = BT, где величина B равна произведению газовой постоянной на число молей газа. Поскольку при рассматриваемом процессе число молей газа следует считать неизменным, то величина B должна оставаться постоянной. Если давление газа и занимаемый им объем в исходном состоянии обозначить p_o и V_o, соответственно, то по условию задачи зависимость давления газа от занимаемого им объема можно представить в виде:

p = p_o − a(V − V_o),
где a − положительная постоянная величина, определяющая скорость изменения давления газа при изменении занимаемого газом объема. Отсюда следует, что температура газа T является квадратичной функцией занимаемого им объема:
BT = (p_o + aV)V − aV².

   График этой зависимости показан на рисунке.

При построении графика было учтено, что температура газа в исходном и конечном состояниях одинакова, т. к. произведения давления газа на занимаемый им объем по условию в этих состояниях равны. Из полученной выше зависимости температуры газа от занимаемого им объема и приведенного графика следует, что при температурах, меньших максимальной T_m, газ может занимать два разных объема:
V_1,2 = (p_o + aV_o ± √{(p_o + aV_o)² − 4aBT})/(2a),
величины которых стремятся друг к другу по мере приближения температуры газа к максимальной. Следовательно, искомая температура равна
T_m = (p_o + aV_o)²/(4aB).
   Учитывая, что в конечном состоянии давление газа в n раз меньше, а объем во столько же раз больше, чем в исходном состоянии, получим
a = p_o/(nV_o).
Подставляя это значение в предыдущее выражение и учитывая, что
B = p_oV_o/T_o,
T_m = (n + 1)²T_o/(4n) = (9/8)T_o.

   Ответ: T_m = (9/8)T_o.

• Следующая задача