Задача олимпиады. Оценить толщину стенок чугунной трубы, необходимую для того, чтобы трубу не могла разорвать замерзшая внутри вода. Плотность льда ρ_л = 0,9 г/см³, модуль Юнга льда Е_л = 2,5•10⁶ Н/см², коэффициент Пуассона льда μ_л = 0,3. Внутренний диаметр трубы d = 2,5 см, модуль Юнга чугуна Е_ч = 2•10⁷ Н/см², предел прочности чугуна при растяжении (напряжение разрушения-разрыва) считать S_b = 300 МПа.

 Решение.
 Выделим участок трубы длиной L. Поскольку лед в трубе неподвижен, считаем, что продольного изменения размеров нет.

 Вне трубы относительное изменение заключенного в этом участке объема воды после замерзания составило бы
(ρ_в − ρ_л)/ρ_в,
а радиус льда составил бы
r_2л = (d/2)√{(ρ_в − ρ_л)/ρ_в}.
Обозначим
λ = r_2л − d/2.
 Мысленно разделим трубу на множество тонких слоев и рассмотрим слой толщиной dr, до замерзания льда отстоявший от центра на расстояние r. Будем считать, что после замерзания воды все слои увеличили свое расстояние до центра на одну и ту же величину x. Рассмотрим малый элемент этого слоя, опирающийся на угол в β радиан (см. рис.).
 В результате растяжения его относительное удлинение составляет x/r, поэтому натяжение на его боковых сторонах равно
T = (x/r)E_ч,
силы натяжения равняются
F_m = (x/r)E_чLdr,
а их равнодействующая направлена по радиусу к центру трубы и равна
F_p = (x/r)E_чLβdr.
Интегрируя по толщине трубы, получаем:
F_ч = _d/2∫^{(d/2 + δ)}{F_pdr} = E_чLβxln{(d/2 + δ)/(d/2)}.
 Сила давления льда на сектор трубы, ограниченный углом в β радиан, примерно равна
F_л = ε_лE_лLβd/2,
(где ε_л = (λ − x)/(d/2)) и равна силе давления трубы на лед F_ч. Для того, чтобы замерзшая вода не могла разорвать трубу, необходимо, чтобы натяжение во внешнем слое трубы
T_вн = xE_ч/(d/2 + δ)
было меньше напряжения разрыва:
T_вн < Sb.
 Решая нелинейную систему уравнений, получаем: δ > 5 см.

 Примечание:
 Для стержней разного поперечного сечения S под влиянием одной и той же силы относительная деформация ΔL/L тем меньше, чем толще стержень, т.е. чем больше S. Отсюда для упругой деформации растяжения (сжатия) получаем, что относительное изменение длины ΔL/L должно быть пропорциональным величине f_n/S, т.е. силе, отнесенной к единице поперечного стержня. Эту величину f_n/S = p_n назовем усилием (напряжением)

ΔL/L = αf_n/S, или ΔL/L = αp_n,
где коэффициент α, носящий название коэффициента упругости, зависит только от материала, из которого сделан стержень.
 Наряду с коэффициентом упругости α принято характеризовать материал обратной величиной:
E = 1/α,
которую называют модулем Юнга.
 При продольном растяжении стержень дает поперечное сжатие, при продольном сжатии − поперечное расширение. Относительное изменение толщины стержня Δd/d пропорционально действующему усилию p_n:
Δd/d = βp_n.
Коэффициент β называется коэффициентом поперечного сжатия при продольном растяжении.
Отношение
μ = β/α
называется коэффициентом Пуассона.
 Для большинства однородных изотропных тел (и металлов) коэффициент Пуассона близок по численному значению к 1/4.
 Металлы и сплавы со специальными свойствами − совокупность моно- и поликристаллических, аморфных и нанокомпозитных материалов, обладающих способностью очень сильно (на несколько порядков), даже в слабых полях внешних воздействий, изменять некоторые их физические свойства очень важные для практического применения. Например, сетка рабица изготавливается из низко-углеродистой, углеродистой или высоколегированной проволоки, что позволяет получить превосходные технические характеристики изделия.
 В промышленности активно используют штукатурную сетку тканую для транспортных лент, по которым происходит транспортировка продукции, при теплоизоляции промышленного оборудования, для фильтрации жидкостей и газов и много другого.
 Применения технологии разработки и создания материалов со специальными свойствами могут быть использованы как в гражданских, так и военных технических областях.

---

 Смотрите еще:
 Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
 Подготовка олимпиадника.
 Подготовка абитуриента.