• Предыдущая задача

 37(2.11). Конькобежец проходит дистанцию 500 м с постоянной скоростью, а затем тормозит с ускорением 0,05 м/с². При какой скорости движения время до остановки наименьшее?

 Решение.
 Время движения конькобежца равно

t = S/v + v/a, (1)
здесь на первом участке равномерного движения
t₁ = S/v,
на втором участке равнозамедленного движения, время до остановки
t₂ = (0 − v)/(−a) = v/a.
 В формуле (1) в первом слагаемом скорость находится в знаменателе, а во втором слагаемом − в числителе. Если скорость очень большая, то первый участок конькобежец пройдет быстро, но эта же большая скорость отразится на времени торможения − оно увеличится.
 Перепишем уравнение (1)
vat = Sa + v², или v² − atv + Sa = 0. (2)
Решим квадратное уравнение (2)
v₁₂ = (at ± √{(at)² − 4Sa})/2.
Подкоренное выражение
{(at)² − 4Sa} ≥ 0.
В пределе
(at)² − 4Sa = 0, (at)² = 4Sa,
t = 2√{S/a}. (3)
А скорость
v = at/2 = a2√{S/a}/2 = √{aS}. (4)
 Минимальное время движения от начала движения до остановки определяется выражением (3), а скорость выражением (4).
 Задачу можно решать проще, если найти производную выражения (1) по скорости
t^/ = −S/v² + 1/a.
Приравняем производную к нулю
−S/v² + 1/a = 0,
откуда
v = √{aS}.
Подставим численные значения в (4)
v = √{0,05 × 500} = 5 (м/с).
 При скорости 5 м/с время до остановки у конькобежца наименьшее.

• Следующая задача