• Предыдущая задача

 12(К). В стратифицированной жидкости плотность увеличивается с глубиной h no линейному закону ρ(h) = ρ(0)(1 + αh), где ρ(0) − известная плотность на поверхности. Для измерения константы α, в жидкость на нити, прикрепленной к динамометру, опускают цилиндрическое тело длиной L и сечением S. Когда тело перемещается по вертикали на Н, оставаясь целиком погруженным в жидкость, показания динамометра изменяются на ΔF. Чему равна константа α?

 Решение.
 Воспользуемся законом Архимеда и найдем разность выталкивающих сил при перемещении тела по вертикали на H. Очевидно, что если тело опускается, выталкивающая сила увеличивается, а показания динамометра, равные разности веса тела и силы Архимеда, уменьшаются. Пусть в начале верхняя грань цилиндра находится на глубине h₁, нижняя на глубине h₁ + L, а в конце − верхняя на глубине h₁ + H, нижняя на глубине h₁ + Н + L. Так как плотность жидкости меняется по линейному закону, вес воды, вытесненной телом в начале, пропорционален площади трапеции, заштрихованной на рисунке:

F₁ = gSL × (ρ(h₁) + ρ(h₁ + L))/2.
 Аналогично, вес воды, вытесненной телом в конце, равен
F₁ = gSL × (ρ(h₁ + H) + ρ(h₁ + H + L))/2.
 При этом разность показаний динамометра составляет
ΔF = F₂ − F₁ = gSLρ(0)αH,
откуда и находим константу α:
α = ΔF/(gSLρ(0)H).
 Эту константу можно найти и из разности давлений на верхнее и нижнее основания цилиндра длиной L при его перемещении по вертикали на H (убедитесь в этом самостоятельно).

• Следующая задача