Районный тур. Декабрь 2010 г. 11 класс
 Задача 1. Вращающаяся палочка.
 По гладкой горизонтальной поверхности, вращаясь, скользит со скоростью v = 10 см/с палочка длиной l = 10 см. При какой угловой скорости вращения палочка ударится о вертикальную стену плашмя, если на расстоянии L = 50 см от стены палочка была параллельна стене? Сколько оборотов она сможет за это время сделать?

 Решение.
 Время, за которое центр палочки пройдет расстояние L до стены

t = L/v.
 Чтобы палочка ударилась о стену плашмя, необходимо, чтобы за это время она совершила целое число полуоборотов вокруг оси вращения.
Следовательно,
ωt = n•π
где n = 1, 2, 3, ….,
откуда
ω = n•π/t = n•πv/L.
Но не все полученные значения ω будут являться ответом в задаче. При достаточно больших ω палочка при движении «зацепится» одним из своих концов за стену, не успев удариться об нее плашмя.
 Для того чтобы найти условие, которому удовлетворяют искомые значения ω, заметим, что во время удара палочки скорость ее конца A (см. рисунок)

не может быть направлена от стены (в противном случае в предшествующие моменты времени точка A «находилась» в стене, что невозможно). Скорость точки A складывается из скорости движения центра палочки и линейной скорости вращения палочки:
v_A = u − v = ωl/2 − v > 0.
Отсюда получаем условие для ω:
ω = 2v/l = 2 c⁻¹.
Сопоставляя это условие с формулой
ω = n•πv/L,
мы увидим, что подходящими значениями ω, являются лишь значения
при одном обороте ω = 1•3,14•10/50 = 0,628 c⁻¹,
при двух оборотах ω = 2•3,14•10/50 = 1,256 c-1,
при трех оборотах ω = 3•3,14•10/50 = 1,884 c⁻¹.