Районный тур. 4 декабря 2010 г. 10 класс
 Задача 1. Из пушки по ….
 На горизонтальном полу стоит вертикальная прямоугольная плоская стенка, верхний край которой горизонтален. На некотором расстоянии от стенки на полу установлена маленькая игрушечная пушка, которая стреляет шариками. Школьник направляет ствол пушки прямо на верхний край стенки (вдоль пунктирной линии) и производит выстрел. При этом шарик летит так, что плоскость его траектории перпендикулярна стенке, и попадает в стенку в точке A, которая находится на расстоянии h = 5 см от ее верхнего края. Чему равна начальная скорость шарика, если ствол пушки находится на расстоянии R = 70 см от верхнего края стенки? Сопротивлением воздуха при движении шарика пренебречь. Считайте размеры пушки малыми по сравнению с высотой стенки.

 Решение 1.
 Обозначим высоту стенки H, а расстояние от пушки до стенки L. Направим координатную ось OX горизонтально перпендикулярно стенке в направлении движения шарика, а ось OY − вертикально вверх. Начало координат совместим с точкой вылета шарика из ствола пушки, время t будем отсчитывать от момента выстрела. Тогда уравнения движения шарика вдоль указанных осей имеют вид:
x(t) = v_ocosα•t.
и
y(t) = v_osinα•t − gt²/2,
где α − угол между вектором начальной скорости шарика и осью OX.
Условие попадания шарика в стенку имеет вид:
x(t) = L и y(t) = H − h.
Отсюда время полета шарика до стенки
t = L/(v_ocosα),
и из второго уравнения имеем:
H − h = Ltgα − gL²/(2v_o²cos²α).
Учитывая, что Ltga = H и что
1/cos²α = 1 + tg²α,
Последнюю формулу перепишем
h = (gL²/(2v_o²))•(1 + H²/L²).
Отсюда
v_o = R√{g/(2h)}.
 После вычисления v_o = 7 м/с.