Районный тур. 5 декабря 2009 г. 11 класс
   Задача 5. Мост в форме выпуклой параболы перекинут через реку шириной l = 100 м. Самая верхняя точка моста находится над уровнем берегов на высоте h = 5 м. Автомашина массой m = 1000 кг движется по мосту с постоянной скоростью v = 20 м/с. Определите силу давления автомашины на мост в самой верхней его точке.

   Решение:
   В самой верхней точке моста вдоль вертикали на машины действуют силы: тяжести mg и нормальной реакции опоры N. По второму закону Ньютона

mg − N = mv²/R,
где R − радиус кривизны параболы в ее вершине.
   По третьему закону Ньютона искомая сила F_д = N. Для определения R воспользуемся методом аналогии.
   Рассмотрим свободный полет тела брошенного с начальной скоростью v_o под углом к горизонту. Дальность полета примем равной l, максимальную высоту − h. Тогда
l = (2v_o²sinαcosα)/g, h = (v_o²sin²α)/(2g).
   Из этих уравнений найдем горизонтальную составляющую начальной скороcти, а значит, и скорость тела в верхней точке полета
v_x = v_ocosα = (1/4)√2g/h.
   Тогда радиус кривизны параболы в этой точке
R = v_x²/g = l²/(8h),
а искомая сила
F_д = mg(1 − v²/(gR)) = mg(1 − 8v²h/(gl²)) = 8,4 кН.