• Предыдущая задача

   20(НГУ 2000). Два тела с массами m₁ и m₂ и зарядами q и −q соединены пружиной жесткости k и находятся в состоянии покоя (пружина не растянута). Мгновенно включается электрическое поле E, направленное вдоль пружины. Найти максимальные значения скоростей первого и второго тела при последующем движении. Электрическим взаимодействием тел между собой пренебречь.

   Решение:
   Сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю. Поэтому сохраняется импульс
m₁v₁ + m₂v₂ = 0, (1)
а центр масс O остается на месте (для определенности предположим, что m₁ > m₂, и центр масс находится ближе к первому телу).
   Выберем положительное направление оси вправо и обозначим смещение первого тела x₁, а второго x₂.
   Из уравнения (1) получается
v₂ = −m₁v₁/m₂ (2)
   Скорости всегда противоположны по направлению и пропорциональны по величине. Поэтому их максимальные значения достигаются одновременно. Условие максимальности скорости тела – равенство нулю его ускорения, а, следовательно – и действующей силы.
   Для первого тела это условие принимает вид:
qE = k(x₁ − x₂). (3)
   Закон сохранения энергии системы тел:
m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 = qE(x₁ − x₂) − k(x₁ − x₂)²/2. (4)
   Выражая (x₁ − x₂) из (3), а v₂ из (4), получим
m₁v₁²/2(1 + m₁/m₂) = q²E²/(2k).
   Откуда максимальные значения
v₁ = (qE/√k) × √{m₂/[m₁(m₁ + m₂)]}
и
v₂ = (qE/√k) × √{m₁/[m₁(m₁ + m₂)]}

   Ответ: v₁ = (qE/√k) × √{m₂/[m₁(m₁ + m₂)]}, v₂ = (qE/√k) × √{m₁/[m₁(m₁ + m₂)]}.

• Следующая задача