Эффект Доплера

 Пусть, например, вслед удаляющемуся со скоростью космическому кораблю периодически с периодом T по часам К-системы посылаются излучателем И световые сигналы (рис.).

Найдём интервалы времени, через которые эти световые вспышки будут приходить к наблюдателю H, находящемуся на корабле в К^/-системе. Обозначим время в К-системе между двумя последовательно принятыми сигналами как t_u. Тогда
t_u = T + Vt_u/c,
где vt_u − расстояние, на которое успевает удалиться корабль за время хода света t_u. Из написанного уравнения
t_u = T/(1 − v/c) = T/(1 − b).
Однако в К^/-системе наблюдатель зарегистрирует меньшее время t_н:
t_н = t_u•√{1 − v²/c²} = T•√{1 − v²/c²}/(1 − v/c) = T•√{(1 + v/c)/(1 − v/c)} = T•√{(1 + β)/(1 − β)}.
 Если теперь рассмотреть корабль, приближающийся к источнику И сигналов, то результат будет отличаться знаком скорости:
t_н^прибл = T•√{(1 − β)/(1 + β)}.
Поскольку посылается периодическая последовательность импульсов, то можно говорить о частоте посылки сигналов ν = 1/T [Гц].
Отсюда и получаем известные формулы Доплера для изменения частоты сигналов при удалении и приближении друг к другу источника и приёмника:
удаление:ν^/ = ν•√{(1 − β)/(1 + β)} (частота уменьшается),
приближение: ν^/ = v•√{(1 + β)/(1 − β)} (частота растёт).
 Если скорость удаления (сближения) v << c, то используя малость β можно применить формулу приближения
1/(1 + β) ≈ 1 − β.
И тогда
ν^/ ≈ ν•(1 − b) или Δν/ν = V/c = β.
 Это формулы для продольного эффекта Доплера.

 Читать еще:
Принцип относительности Галилея.
Постулаты специальной теории относительности.
Лоренцево сокращение длин.
Лоренцево сокращение времени. Собственное время.
Преобразования Лоренца. Правило сложения скоростей.
Эффект Доплера.
Основы релятивистской динамики.