• Предыдущая задача.

   21(П). Кабина лифта массой m = 1000 кг равномерно опускается со скоростью v_o = 1,0 м/с с помощью троса, перекинутого через барабан. Когда кабина опустилась на l = 10 м, барабан заклинило. Найдите максимальную силу упругости T_max, действующую на трос вследствие внезапной остановки лифта. Длина троса в момент остановки равна l = 10 м, площадь поперечного сечения троса S = 20 см², модуль Юнга материала троса E = 2,0 × 10¹¹ Па. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

   Решение:
   При равномерном движении кабины действующие на нее силы упругости троса и тяжести кабины уравновешивают друг друга:

ESΔl_ст/l = mg,
откуда найдем статическое удлинение троса
l_ст = mgl/(ES).
   При внезапной остановки барабана кабина будет двигаться по гармоническому закону (попробуйте доказать это самостоятельно)
x(t) = (v_o/ω)sinωt,
где ω = √(k/m) = √{ES/(ml)} − частота гармонических колебаний, а амплитуда колебаний смещения в ω раз меньше амплитуды v_o колебаний скорости. Максимальное удлинение троса будет равно сумме статического удлинения и амплитуды гармонических колебаний смещения:
Δl_max = l_ст + v_o/ω = mgl/(ES) + v_o√{ml/(ES)}.
   В этот момент упругая сила достигнет своего наибольшего значения
T_max = kΔl_max = mg + v_o√{mES/l}.
   После вычисления получим T_max = 2,1 × 10⁵ H.

   Ответ: T_max = mg + v_o√{mES/l} = 2,1 × 10⁵ H.

• Следующая задача