50.(M2001-9) Автомобиль проехал по пятикилометровому участку дороги. Специальный прибор при этом записывал показания спидометра через каждые 10 метров. В результате получилась зависимость скорости автомобиля v от пройденного пути x, показанная на рисунке. Оцените, за какое время t автомобиль проехал эти пять километров.

 Решение
 Разобьём данный пятикилометровый отрезок дороги на много одинаковых маленьких участков длиной x каждый. Тогда скорость автомобиля на каждом из участков можно считать приблизительно постоянной. На прохождение i-го участка дороги автомобилю требуется время

   49.(M1997-9) Тело движется по прямой. График зависимости его скорости v от координаты x приведён на рисунке. Найдите ускорение тела в точке с координатой x = 3 м. Найдите также максимальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

 Решение
 Из графика следует, что при x < 1 м и x > 4 м скорость тела постоянна, а значит, его ускорение равно нулю. В интервале от x = 1 м до x = 4 м связь между численными значениями скорости v и координаты x, выраженными в СИ, даётся формулой

v = 5 − kx,

   48.(M2005-8) На длинном прямом шоссе автомобили движутся с постоянной скоростью v₁ всюду, за исключением моста, на котором автомобили движутся с другой постоянной скоростью v₂. На рисунке изображён график зависимости расстояния l между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени t. Найдите скорости v₁ и v₂, а также длину моста.

 Решение
 Пока оба автомобиля движутся по шоссе или по мосту, расстояние между ними остаётся постоянным:

l₁ = 400 м или l₂ = 200 м.

 47.(M1997-10) Мэр одного городка начал получать жалобы на большую автомобильную пробку перед светофором на главной улице. Скорость машин при движении составляла 6 м/c, а средняя скорость продвижения по пробке − всего 1,5 м/с. При этом время свечения светофора зелёным светом было равно времени свечения красным (время свечения жёлтым светом мало). Мэр распорядился увеличить время свечения светофора зелёным светом в два раза, а время свечения красным светом оставить прежним. Чему станет равна средняя скорость продвижения машин по пробке? Считайте, что скорость машин при движении не изменилась. Учтите, что при включении зелёного света автомобили начинают двигаться не одновременно.

 Решение

 46.(M2004-8) На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный − в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?

 Решение
 Нарисуем график движения автомобиля (см. рис.).

 45.(M2003-10) В автомобиле спидометр и счётчик пройденного пути регистрируют скорость автомобиля и пройденный им путь относительно поверхности, по которой движется автомобиль. Автомобиль последовательно проехал по двум конвейерам (движущимся дорожкам) длиной L = 500 м каждый. Полотна конвейеров движутся в одну сторону с постоянными скоростями v₁ = 20 км/ч и v₂ = 30 км/ч. По первому конвейеру автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а по второму конвейеру − с другой постоянной скоростью.

 44.(M1991-8) В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью v₁ = 2 × 10⁷ м/с, а второй − со скоростью v₂ = 3 × 10⁷ м/с. В некоторый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через t = 2,4 с после отправления. Радиосигналы распространяются со скоростью c = 3 × 10⁸ м/с, которая не зависит от скорости источника, посылающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент: 1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём?

 Решение

   43.(M1999-8) На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени расстояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мотоциклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи?

 Решение
 Обозначим расстояние между велосипедистом и мотоциклистом S, а скорость пешехода v. Дальше задачу можно решать двумя способами − с помощью составления системы уравнений и графически.
 Рассмотрим оба способа.

 42.(M2002-8) По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна v₁ = 36 км/ч, то через каждые t₁ = 10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости v₂ = 90 км/ч через каждые t₂ = 20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили колонны мимо инспектора, если он остановится?

 Решение
 Пусть u − скорость колонны автомобилей, l − расстояние между автомобилями в колонне. Тогда

 41.(M2001-9) Эскалатор метро движется со скоростью v. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом: делал два шага вперёд и один шаг назад? Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна u. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

 Решение

Районный тур. Декабрь 2010 г. 11 класс
 Задача 1. Вращающаяся палочка.
 По гладкой горизонтальной поверхности, вращаясь, скользит со скоростью v = 10 см/с палочка длиной l = 10 см. При какой угловой скорости вращения палочка ударится о вертикальную стену плашмя, если на расстоянии L = 50 см от стены палочка была параллельна стене? Сколько оборотов она сможет за это время сделать?

 Решение.
 Время, за которое центр палочки пройдет расстояние L до стены

t = L/v.
 Чтобы палочка ударилась о стену плашмя, необходимо, чтобы за это время она совершила целое число полуоборотов вокруг оси вращения.
Следовательно,
ωt = n•π

Районный тур. 4 декабря 2010 г. 10 класс
 Задача 1. Из пушки по ….

 A7. На рисунке представлена установка для исследования равноускоренного движения ползунка (1) массой 0,05 кг по наклонной плоскости, установленной под углом 45° к горизонту.
 В момент начала движения верхний датчик (А) включает секундомер (2), при прохождении ползунка мимо нижнего датчика (В) секундомер выключается. Числа на линейке обозначают длину в сантиметрах. Секундомер измеряет время в секундах. Ускорение ползунка в любой момент времени вычисляется по формуле
 1) a = 30 м/с²; 2) a = 1,5 м/с²; 3) a = 1,5t; 4) a = 30t.

 Решение.
 По линейке определим расстояние, которое прошел ползунка:

 С1. С высоты H = 20 м свободно падает стальной шарик. Через t = 1 c после начала падения он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом 30^о к горизонту. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется шарик после удара? Удар шарика о плиту считать абсолютно упругим. Сопротивление воздуха мало.

 Решение.
 За одну секунду свободного падения, шарик пролетит расстояние

h = gt²/2 (1)
и столкнется с плитой. После отскока, шарик будет двигаться под углом α = 30^о к перпендикуляру, восстановленному в точку падения, под таким же углом к горизонтальной оси (смотри рисунок).

 B3. Рассчитайте центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси координат которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли. Ответ округлите до двух значащих цифр.

 Решение.
 В указанной в условии задач системе отсчета, земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью

ω = 2π/T, (1)
где T = 86400 с − время одного оборота Земли вокруг своей оси.
 Центростремительное ускорение льва равно
a_ц = ω²R, (2)
R = 6,4•10⁶ м − радиус Земли.
С учетом (1), (2) запишем